[論文レビュー] Bifurcation analysis of two-dimensional Rayleigh--B\'enard convection using deflation

Nicolas Boullé, Vassilios Dallas+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2021

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 54被引用数 16

ひとこと要約

本稿では、スリップなし境界を有する2次元レイノルズ–ベナール対流に対する定常状態の発散に基づく分岐解析を提示する。初期解の知識がなくても、複数の定常状態、特に分離された分岐を含む解の発見が可能である。S字型の分岐曲線とヒステリシスを示す解が特定され、流れの逆転ダイナミクスと関連している。線形安定性解析により、解の安定性領域が同定された。

ABSTRACT

We perform a bifurcation analysis of the steady states of Rayleigh--B\'enard convection with no-slip boundary conditions in two dimensions using a numerical method called deflated continuation. By combining this method with an initialisation strategy based on the eigenmodes of the conducting state, we are able to discover multiple solutions to this non-linear problem, including disconnected branches of the bifurcation diagram, without the need for any prior knowledge of the solutions. One of the disconnected branches we find contains an S-shaped curve with hysteresis, which is the origin of a flow pattern that may be related to the dynamics of flow reversals in the turbulent regime. Linear stability analysis is also performed to analyse the steady and unsteady regimes of the solutions in the parameter space and to characterise the type of instabilities.

研究の動機と目的

• スリップなし境界を有する2次元レイノルズ–ベナール対流における、分離された分岐を含む、すべての定常状態解の完全なセットを調査すること。
• 層流領域における分岐解析を通じて、乱流状態での流れの逆転現象の起源を解明すること。
• 初期推定値や安定性仮定を必要としない、発散に基づく数値的手法の開発および適用を行うこと。
• 計算された解に対して線形安定性解析を実施し、パrameter空間における解の動的挙動を分類すること。
• 対称性（鏡像およびボウシネスク）が分岐構造に与える影響を同定すること。

提案手法

• ニュートン法に発散作用素を組み合わせた発散継続法を用いて、定常状態のナビエ–ストークス–ボウシネスク方程式の複数解を計算する。
• 非自明な解への収束を向上させるために、導電状態の固有モードを初期推定値として用いる。
• レイノルズ数（Ra）を変化させながら解分岐を追跡するために、弧長継続法を適用する。
• 計算された定常状態に対してアーノルド法を用いた線形安定性解析を実施し、ホフ分岐や非定常不安定性を検出する。
• 問題の対称性（鏡像およびボウシネスク）を活用して、解の初期化を支援し、分岐構造を解釈する。
• 空間離散化にはFEniCS有限要素パッケージ、大規模線形方程式系の解法にはMUMPSを用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スリップなし壁を有する2次元レイノルズ–ベナール対流における、分離された分岐を含む、定常状態解の完全なセットは何か？
• RQ2 時間積分の初期値に依存せず、発散継続法が初期知識なしに解を発見できるか？
• RQ3 乱流状態における流れの逆転ダイナミクスの起源は何か？また、層流領域における分岐構造とどのように関連しているか？
• RQ4 系の対称性（鏡像およびボウシネスク）は、分岐図および複数の解分岐の存在にどのように影響を与えるか？
• RQ5 どの解分岐が線形安定または不安定であり、どのような不安定性（例：ホフ分岐）を示すか？

主な発見

• 発散継続法により、以前に未知であったヒステリシスを示すS字型の分離された分岐を含む、複数の定常状態解が成功裏に発見された。
• S字型分岐に含まれる解は、乱流領域で観測される流れの逆転ダイナミクスの背後にある可能性がある。
• 線形安定性解析により、S字型分岐はホフ分岐を示しており、周期的非定常状態の始まりを示していることが判明した。
• 導電状態はRa ≈ 1708で安定性を失い、古典的線形安定性理論と整合的である。
• S字型分岐では、Ra < 1708で不安定であり、その後わずかな区間で安定化し、再びホフ分岐によって不安定化する。
• 固有モードに基づく初期化により、初期知識がなくても不安定または分離された分岐に対しても解が効果的に発見された。