[論文レビュー] Bifurcation in a multi-component system of nonlinear Schrödinger equations

Thomas Bartsch|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2012

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、結合されたボーズ＝アインシュタイン凝縮体や非線形光ファイバー系をモデル化する非線形シュレーディンガー方程式の多成分系における分岐を研究する。線形化における高次元核の問題を克服するために、隠れた対称性を用い、完全にロックされた解の分岐から、非ロックおよび部分的にロックされた解のグローバル分岐を証明する。特に、相互作用パラメータ $\beta$ が臨界値を通過する場合、$n>1$ が奇数であっても、偶数次元核を有する場合でも成立する。

ABSTRACT

We consider the system -Δu_j + a(x)u_j = μ_j u_j^3 + \be\sum_{k e j}u_k^2u_j, u_j>0, \qquad j=1,...,n, on a possibly unbounded domain $\Om\subset\R^N$, $N\le3$, with Dirichlet boundary conditions. The system appears in nonlinear optics and in the analysis of mixtures of Bose-Einstein condensates. We consider the self-focussing (attractive self-interaction) case $μ_1,...,μ_n > 0$ and take $\be\in\R$ as bifurcation parameter. There exists a branch of positive solutions with $u_j/u_k$ being constant for all $j,k\in{1,...,n}$. The main results are concerned with the bifurcation of solutions from this branch. Using a hidden symmetry we are able to prove global bifurcation even when the linearization has even-dimensional kernel (which is always the case when $n>1$ is odd).

研究の動機と目的

• 非線形シュレーディンガー方程式の多成分系における完全にロックされた正の解の分岐を分析すること。
• $n>1$ が奇数のとき、線形化における高次元核の問題が標準的な位相理論的分岐法を不可能にするという課題に対処すること。
• 新たに同定された隠れた対称性を用いて、部分的にロックされた解（各部分集合内で $u_i/u_j$ が一定だが、全体では一定でない）のグローバル分岐を確立すること。
• $n=2$ の場合に既に研究済みであるのを越えて、一般の $n \geq 2$ に対して、非等しい自己相互作用係数 $\mu_j > 0$ を持つ分岐理論を拡張すること。
• 分岐が特定の値 $\beta_k$ で発生すること、すなわちモーレス指数が変化する点で、インデックスジャンプが奇数のときグローバル分岐枝が存在することを証明すること。

提案手法

• 系は $\Omega \subset \mathbb{R}^N$, $N \leq 3$ の領域上で、ディリクレ境界条件とポテンシャル $a(x)$ を用い、$\|\cdot\|_E$-ノルムが有限である $G$-不変関数の空間 $E$ で考察される。
• 各 $u_j = \alpha_j(\beta) w$ となる完全にロックされた解の分岐 $\mathcal{T}_w$ を構成する。ここで $w$ はスカラー方程式 $-\Delta w + a(x)w = w^3$ の固定された正の解である。
• 分岐パラメータ $\beta$ は成分間結合を制御する。$g(\beta) = 1 + \beta \sum_{k=1}^n \frac{1}{\mu_k - \beta}$ が鎖の存在を決定する。
• 線形化における高次元核の原因を説明する隠れた対称性が同定され、偶数次元核であっても位相理論的手法の適用を可能にする。
• 解 $\mathcal{P}$-ロックされた解のモーレス指数 $m^\mathcal{P}(\beta)$ を計算し、$\beta = \beta_k$ で変化することは分岐を示唆する。
• インデックスジャンプ $(|\mathcal{P}|-1)n_k$ が奇数のとき、核の構造と対称性を用いて、等化位相理論に依存せずにグローバル分岐を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 線形化核が偶数次元である場合、これは $n>1$ が奇数のとき一般的な問題であるが、多成分非線形シュレーディンガー系において非ロック解のグローバル分岐を確立できるか？
• RQ2 隠れた対称性は、分岐点における高次元核をどのように説明し、分岐解析を可能にするか？
• RQ3 成分がグループ内でロックされているが全体ではロックされていない部分的にロックされた解は、完全にロックされた解の分岐からどのように生じるか？
• RQ4 モーレス指数が $\beta_k$ で変化する条件は何か？ そしてこれはグローバル分岐枝の存在に何を意味するか？
• RQ5 分岐理論は $n=2$ の場合に限らず、一般の $n \geq 2$ に対して非等しい $\mu_j$ 係数を持つ場合に拡張可能か？

主な発見

• インデックスジャンプ $(|\mathcal{P}|-1)n_k$ が奇数である限り、$\mathcal{P}$-ロックされた解のグローバル分岐が $\beta_k$ で発生する。ここで $n_k = \dim V_k$ であり、$V_k$ は線形化作用素の $k$ 番目の固有値に対応する固有空間である。
• 任意の部分集合 $A \subset \{1,\dots,n\}$ に対して、$A \neq \emptyset$, $A \neq \{1,\dots,n\}$ かつ $n_k$ が奇数のとき、$\mathcal{T}_w$ から $\beta_k$ で分岐する $\mathcal{P}_A$-ロックされた解のグローバル分岐 $\mathcal{S}^A_k$ が存在し、少なくとも $2^{n-1} - 1$ 個のこのような異なるグローバル分岐が存在する。
• 分岐点 $\beta_k$ は $g(\beta) = 0$ の根であり、$g(\beta) = 1 + \beta \sum_{k=1}^n \frac{1}{\mu_k - \beta}$ で与えられ、$(-\infty, \mu_1)$ に位置し、$\overline{\beta} < 0$ が唯一の零点である。
• 隠れた対称性は核の多重度を説明し、標準的な位相理論的手法が偶数次元核のため失敗する場合でもグローバル分岐を可能にする。
• $n_k = 1$ のとき、クランダル＝ラビノヴィッツの定理が適用され、分岐する枝が分岐点近傍で $C^1$-滑らかであることが保証される。
• 結果は $N=2,3$ の回転対称領域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$、および $a(x) \to \infty$ が $|x| \to \infty$ のとき $\Omega = \mathbb{R}^N$ に対して成り立ち、コンパクト埋め込み $E \hookrightarrow L^4(\Omega)$ の下で成立する。