[論文レビュー] Biharmonic properly immersed submanifolds in Euclidean spaces

Kazuo Akutagawa, Shun Maeta|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 5被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、ユークリッド空間内の任意の完全な双調和的で適切に埋め込まれた部分多様体が最小であることを証明し、 Chenの予想のグローバル版を確認する。位置ベクトルに基づく径方向関数を用いた修正された最大値原理を用いて、平均曲率が非ゼロであると仮定すると矛盾が生じることを示し、第二基本形式が有界であると仮定しないまま最小性を確立する。

ABSTRACT

We consider a complete biharmonic immersed submanifold $M$ in an Euclidean space $\mathbb{E}^N$. Assume that the immersion is proper, that is, the preimage of every compact set in $\mathbb{E}^N$ is also compact in $M$. Then, we prove that $M$ is minimal. It is considered as an affirmative answer to the global version of Chen's conjecture for biharmonic submanifolds.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間における双調和的部分多様体に関する Chenの予想のグローバル版を解決すること。
• 適切に埋め込まれた完全な双調和的部分多様体の最小性を確立すること。
• 部分多様体におけるリッチ曲率の下界が存在しないという欠如を、距離関数の代わりに位置ベクトルを用いることで克服すること。
• 第二基本形式が有界であると仮定しないで、Chenの予想のグローバルな肯定的解答を提供すること。
• 一般化された最大値原理の新規な応用により、既知の局所的結果をグローバルな設定に拡張すること。

提案手法

• コンパクト部分集合と $\mathbb{E}^N$ 内の球との交わりにおける部分多様体上に、テスト関数 $ F(x) = (\rho^2 - |\mathbf{x}(x)|^2)^2 |\mathbf{H}(x)|^2 $ を定義する。
• 一般化された最大値原理を $ F $ に適用し、$ M $ が適切に埋め込まれていることからレベル集合のコンパクト性を保証する。
• 双調和性条件 $ \Delta \mathbf{H} = 0 $ と恒等式 $ \Delta \mathbf{x} = n \mathbf{H} $ を用いて、$ \Delta |\mathbf{H}|^2 $ の推定を行う。
• 矛盾の議論の中心となる不等式 $ \Delta |\mathbf{H}|^2 \geq 2n |\mathbf{H}|^4 $ を確立する。
• 最大点 $ p $ における $ \Delta F \leq 0 $ の点ごとの推定を行い、$ |\mathbf{H}(x)|^2 $ を $ \rho $ と $ |\mathbf{x}(x)| $ の関数としての境界を導出する。
• 得られた不等式において $ \rho \to \infty $ の極限をとることで、非ゼロ平均曲率の仮定に反して $ |\mathbf{H}(x_0)|^2 = 0 $ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の完全な双調和的で適切に埋め込まれた部分多様体が $\mathbb{E}^N$ 内に存在する場合、必ず最小であるか？
• RQ2 リッチ曲率の下界が存在しない部分多様体に対し、位置ベクトルを用いることで一般化された最大値原理を適応可能にすることができるか？
• RQ3 第二基本形式が有界でない場合、双調和幾何における標準的な最大値原理の手法の適用が妨げられるか？
• RQ4 コンパクト性や有界幾何を仮定しないで、Chenの予想のグローバル版を証明できるか？
• RQ5 適切な埋め込みが最大値原理の議論に必要なコンパクト性を保証するために果たす役割は何か？

主な発見

• 任意の双調和的で適切に埋め込まれた部分多様体は $\mathbb{E}^N$ 内に存在する場合、最小である。これは Chenの予想のグローバル版を確認する。
• すべての双調和的部分多様体に対して、不等式 $ \Delta |\mathbf{H}|^2 \geq 2n |\mathbf{H}|^4 $ が成り立ち、等号が成り立つのは $ \mathbf{H} = 0 $ の場合に限る。
• 関数 $ F_{\rho}(x) = (\rho^2 - |\mathbf{x}(x)|^2)^2 |\mathbf{H}(x)|^2 $ の最大値は、ある正の定数 $ c $ に対して $ \rho $ に依存しない $ c\rho^2 $ で有界である。
• $ \rho \to \infty $ の極限をとることで、不等式 $ |\mathbf{H}(x)|^2 \leq \frac{c\rho^2}{(\rho^2 - |\mathbf{x}(x)|^2)^2} $ から、任意の点 $ x_0 $ で $ |\mathbf{H}(x_0)|^2 = 0 $ が導かれ、非最小性の仮定に矛盾する。
• 距離関数の代わりに位置ベクトルのノルムを最大値原理の構成に用いることで、第二基本形式に関する仮定を回避する。
• リッチ曲率が下界を持たない場合でも、周囲空間の幾何学を用いることでそのような下界の必要性を回避でき、結果は成り立つ。