[論文レビュー] BiHom-Lie superalgebra structures

Shengxiang Wang, Shuangjian Guo|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2016

Advanced Topics in Algebra参考文献 18被引用数 13

ひとこと要約

本稿では、BiHom-Lie代数とHom-Lie超代数の一般化として、BiHom-Lie超代数を導入し、Yauのねじれ原理を用いて、BiHom-結合的およびHom-Lie超代数から構成する。主な貢献は、BiHom-Lie超代数のすべての$\beta^k$-自己準同型が自然なBiHom-Lie超代数構造をなすこと、および内部自己準同型が$\beta^{k+1}$-自己準同型であることの証明である。

ABSTRACT

The aim of this paper is to introduce the notion of BiHom-Lie superalgebras. This class of algebras is a generalization of both BiHom-Lie algebras and Hom-Lie superalgebras. In this article, we first present two ways to construct BiHom-Lie superalgebras from BiHom-associative superalgebras and Hom-Lie superalgebras by Yau's twist principle. Also, we explore some general classes of BiHom-Lie admissible superalgebras and describe all these classes via $G$-BiHom-associative superalgebras, where $G$ is a subgroup of the symmetric group $S_{3}$. Finally, we discuss the concept of $β^{k}$-derivation of BiHom-Lie superalgebras and prove that the set of all $β^{k}$-derivation has a natural BiHom-Lie superalgebra structure.

研究の動機と目的

• Hom-Lie超代数およびBiHom-Lie代数を統一的な枠組みとして一般化すること：BiHom-Lie超代数。
• BiHom-結合的およびHom-Lie超代数にYauのねじれ原理を適用することで、BiHom-Lie超代数の構成法を確立すること。
• 群$G \leq S_3$を用いて$G$-BiHom-結合的超代数を導入し、BiHom-Lie適応的超代数を分類すること。
• $\beta^k$-自己準同型をBiHom-Lie超代数で定義・研究し、BiHom-Lie括弧に関しての閉包性を証明すること。
• 内部自己準同型が$\beta^{k+1}$-自己準同型であることの証明により、代数的構造と自己準同型理論との間の関係を確立すること。

提案手法

• 2つの可換な代数自己準同型$\alpha$および$\beta$を含む、ねじれたジャコビ恒等式を用いてBiHom-Lie超代数を定義する。
• BiHom-結合的超代数から、交換子括弧$[x,y] = \mu(x,y) - (-1)^{|x||y|}\mu(y,x)$を用いて、Yauのねじれ原理を適用してBiHom-Lie超代数を構成する。
• 既存のHom-Lie超代数に対してYauのねじれを適用し、括弧および構造写像をねじることで、BiHom-Lie超代数を生成する。
• $S_3$の部分群$G$に対して$G$-BiHom-結合的超代数を導入し、一般化されたBiHom-Lie適応的超代数のクラスを記述する。
• $\beta^k$-自己準同型を、線形写像$D$が$D[x,y] = [D(x), \beta^k(y)] + (-1)^{|D||x|}[\beta^k(x), D(y)]$を満たすものとして定義する。
• $\beta^k$-自己準同型の空間が、ねじれた括弧$[D, D'] = D \circ D' - (-1)^{|D||D'|} D' \circ D$を用いてBiHom-Lie超代数構造を誘導することを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 BiHom-結合的およびHom-Lie超代数から、BiHom-Lie超代数を体系的にどのように構成できるか？
• RQ2 対称群$S_3$は、BiHom-Lie適応的超代数の分類において果たす役割は何か？
• RQ3 どのような代数的構造がYauのねじれ構成によりBiHom-Lie超代数構造を生じるか？
• RQ4 $\beta^k$-自己準同型がねじれた括弧に関して閉じた代数的構造をなすか？
• RQ5 写像$ad_k(a)$（$ad_k(a)(x) = [a, \beta^k(x)]$として定義される）は$\beta^{k+1}$-自己準同型か？

主な発見

• 任意のBiHom-結合的超代数は、定理2.6で示されたように、交換子括弧を用いてBiHom-Lie超代数に帰着される。
• Yauのねじれ原理を用いたHom-Lie超代数からBiHom-Lie超代数への構成は、定理2.7で示された。
• BiHom-Lie適応的超代数は、$S_3$の部分群$G$に対する$G$-BiHom-結合的超代数として特徴づけられ、群作用による分類が可能である。
• $\beta^k$-自己準同型の集合は、ねじれた括弧に関してBiHom-Lie超代数構造をなすことが、命題4.4で確立された。
• 内部自己準同型$ad_k(a)$（$ad_k(a)(x) = [a, \beta^k(x)]$として定義される）は、$\alpha$および$\beta$が両方とも全単射であるとき、$\beta^{k+1}$-自己準同型であることが、命題4.5で証明された。
• BiHom-Lie超代数のねじれたジャコビ恒等式は、$\beta^k$-自己準同型の括弧に関して保存され、導出された構造の一貫性が保証される。