[論文レビュー] Bilateral Boundary Control of Moving Shockwave in LWR Model of Congested Traffic

Huan Yu, Mamadou Diagne+2 more|ArXiv.org|Apr 8, 2019

Traffic control and management参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、PDE-ODE結合系における状態依存入力遅れを補償することで、LWR交通モデルにおける移動する衝撃波を安定化する予測子ベースのバックステッピング境界制御則を提案する。この手法は、$H^1$ノルムにおいて局所的指数安定性を達成し、両側ラムプメーター制御を用いて衝撃波フロントを所望の静的位置に誘導する。

ABSTRACT

We develop backstepping state feedback control to stabilize a moving shockwave in a freeway segment under bilateral boundary actuations of traffic flow. A moving shockwave, consisting of light traffic upstream of the shockwave and heavy traffic downstream, is usually caused by changes of local road situations. The density discontinuity travels upstream and drivers caught in the shockwave experience transitions from free to congested traffic. Boundary control design in this paper brings the moving shockwave front to a static setpoint position, hindering the upstream propagation of traffic congestion. The traffic dynamics are described with Lighthill-Whitham-Richard (LWR) model, leading to a system of two first-order hyperbolic partial differential equations (PDEs). Each represents the traffic density of a spatial domain segregated by the moving interface. By Rankine-Hugoniot condition, the interface position is driven by flux discontinuity and thus governed by a PDE state dependent ordinary differential equation (ODE). For the PDE-ODE coupled system. the control objective is to stabilize both the PDE states of traffic density and the ODE state of moving shock position to setpoint values. Using delay representation and backstepping method, we design predictor feedback controllers to cooperatively compensate state-dependent input delays to the ODE. From Lyapunov stability analysis, we show local stability of the closed-loop system in $H^1$ norm. The performance of controllers is demonstrated by numerical simulation.

研究の動機と目的

• 混雑した高速道路における、上流に広がる混雑を引き起こす移動衝撃波の安定化という課題に対処する。
• 密度のPDEとしてのLighthill-Whitham-Richard (LWR) を用い、衝撃波位置のランキン＝ヒュゴニォ ODE を用いて交通ダイナミクスをモデル化する。
• PDE状態（交通密度）とODE状態（衝撃波位置）の両方を所定点に制御する両側境界フィードバック制御を設計する。
• PDE状態が移動界面で生じる状態依存入力遅れを補償する。
• リャプノフ解析を用いて、閉ループ系の局所的指数安定性を$H^1$ノルムで確立する。

提案手法

• システムをPDE-ODE結合系としてモデル化する：上流および下流の交通密度を表す2つの双曲型PDEと、フラックスの不連続性によって支配される衝撃波位置のODEを含む。
• バックステッピング法を用いて、元のシステムを遅れ補償を内蔵するターゲットシステムに変換する。
• 予測子フィードバック設計を用いて、界面におけるPDE状態から導かれるODE内の2つの状態依存入力遅れを処理する。
• 遅れ補償のための比較原理を用い、$H^1$ノルムにおける局所的指数安定性を示すためのリャプノフ汎関数を導入する。
• 初期条件が$V(0) \leq \min\{\delta_0, \delta_1\}$を満たす場合に変換の可逆性と制御設計の有効性を保証する。
• 高速道路セグメントの両端にラムプメーターを用いて両側制御入力を実装し、所望の交通状態を達成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 混雑した高速道路における移動衝撃波を境界制御を用いて固定位置に安定化する方法は何か？
• RQ2 PDE-ODE結合系に生じる交通衝撃波ダイナミクスに起因する状態依存入力遅れを効果的に補償する制御戦略は何か？
• RQ3 予測子フィードバックを用いたバックステッピング制御は、ランキン＝ヒュゴニォ条件によって支配される移動不連続性を有するLWRモデルを安定化できるか？
• RQ4 閉ループ系の$H^1$ノルムにおける局所的指数安定性を保証する条件は何か？
• RQ5 両側境界制御は、衝撃波位置および交通密度プロファイルの収束にどのように影響するか？

主な発見

• 提案された予測子ベースのバックステッピング制御により、シミュレーションで約40秒で衝撃波フロントが所望の静的位置$l^* = 200$ mに安定化する。
• オープンループ系では衝撃波位置が上流に進行し、1分以内に高速道路セグメントを出てしまうが、クローズドループ系では衝撃波が領域内に維持される。
• 制御入力は約40秒後にゼロに収束し、系が平衡状態に安定化していることを示している。
• 数値シミュレーションにより、状態誤差の$H^1$ノルムが指数的に減少することが確認され、局所的指数安定性の結果が妥当であることを裏付けた。
• リャプノフ解析により、初期条件が$V(0) \leq \min\{\delta_0, \delta_1\}$を満たす場合にシステムが安定であることが証明された。ここで$\delta_1 = \min\{(L-l^*)^2, (l^*)^2\}$である。
• 本研究は、交通制御の文脈において、複数のPDE状態依存入力遅れが非線形ODEに連鎖的に影響する問題に理論的に初めて取り組んだ研究である。