[論文レビュー] Bilipschitz versus quasi-isometric equivalence for higher rank lamplighter groups

Tullia Dymarz, Irine Peng+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、高ランクランプライトヤー群 $\Gamma_d(q)$ とそのケイリー図 $DL_d(q)$（Diestel-Leader複体）を用いて、初めてファイニットに提示された群のうち、擬等長的ではあるがリプシッツ同値でない群の組を構成した。主な結果は、$k$ が $q$ の素因数の積でないとき、$DL_d^k(q)$ が $DL_d(q)$ に擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないことを示し、従来のファイニット生成ランプライトヤー群に関する結果をファイニット提示の設定に拡張した。

ABSTRACT

We describe a family of finitely presented groups which are quasi-isometric but not bilipschitz equivalent. The first such examples were described by the first author and are the lamplighter groups $F \wr \mathbb{Z}$ where $F$ is a finite group; these groups are finitely generated but not finitely presented. The examples presented in this paper are higher rank generalizations of these lamplighter groups and include groups that are of type $F_n$ for any $n$.

研究の動機と目的

• ファイニットに提示された群で、擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないものを作成し、従来のファイニット生成ランプライトヤー群に関する結果を拡張すること。
• 高ランクランプライトヤー群 $\Gamma_d(q) = \left(\prod_{i=1}^d \mathcal{L}_q((t))\right) \rtimes \mathbb{Z}^{d-1}$ のケイリー図が、$d$ 個の木の積の部分集合としての $DL_d(q)$ として与えられる、Diestel-Leader図の構成を高ランクに一般化すること。
• $k$ が $q$ の素因数の積でないとき、$DL_d^k(q)$ が $DL_d(q)$ に擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないことを証明し、新たなメトリック的に異なる群のクラスを確立すること。
• 任意の $n$ に対して、タイプ $F_n$ の群で、擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないものが存在することを示し、幾何的群論における長年の未解決問題を解決すること。

提案手法

• 著者らは、ケイリー図が Diestel-Leader 複体 $DL_d(q)$ の1次スケルトンに一致するような、高ランクランプライトヤー群 $\Gamma_d(q) = \left(\prod_{i=1}^d \mathcal{L}_q((t))\right) \rtimes \mathbb{Z}^{d-1}$ を用いる。
• 彼らは、$d$ 個の同型木の積の部分集合としての $DL_d(q)$ の幾何を、和がゼロとなるホモモルフィズム $\alpha_i$ を通じた $\mathbb{Z}^{d-1}$ の作用を用いて分析する。
• 粗い微分を用いて擬等長写像を研究し、フラット内の測地線とその擬等長写像による像に注目する。
• 証明の鍵となる技術は、「ブロック」（木に類する部分空間への射影の逆像）がどのように写されるかを分析し、それらが有界距離内に写されることを示すことである。
• 重要な技術的洞察として、擬等長写像がこれらのフラット内の測地線セグメントからなる四角形の構造を保存することを示す。
• 著者らは、Eskin, Fisher, Whyte による可解群および $DL_d(q)$ の自己擬等長写像に関する結果を応用し、任意の擬等長写像が $f_1 \times \cdots \times f_d \times \text{id}$ の形をした標準写像に一様に近いことを適応的に示している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ファイニットに提示された群で、擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないものが存在するか？
• RQ2 擬等長的ではあるがリプシッツ同値でない群の構成を、ファイニット生成からファイニット提示の群に拡張できるか？
• RQ3 $k$ と $q$ にどのような条件下で、$DL_d^k(q)$ が $DL_d(q)$ に擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないか？
• RQ4 任意の $n$ に対して、タイプ $F_n$ の群で、擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないものが構成可能か？
• RQ5 Diestel-Leader複体およびその部分グラフの幾何的構造は、擬等長写像の下でどのように振る舞うか？

主な発見

• 本稿は、任意の $n$ に対して、タイプ $F_n$ の群で、擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないものが存在することを示し、幾何的群論における重要な未解決問題を解決した。
• $k$ が $q$ の素因数の積でないとき、グラフ $DL_d^k(q)$ は $DL_d(q)$ に擬等長的ではあるがリプシッツ同値でないことが証明され、本研究の主要結果が得られた。
• 高ランクランプライトヤー群 $\Gamma_d(q)$ のケイリー図は、$d$ 個の同型木の積の部分空間としての $DL_d(q)$ と同定される。
• $DL_d^k(q)$ と $DL_d(q)$ 間の擬等長写像は、四角形やブロックの大規模構造を保存するが、$k$ が $q$ の素因数の積でない場合にはリプシッツ同値でなくなる。
• 証明により、これらの空間間の任意の擬等長写像が、各 $f_i$ が $\mathbb{R}$ 上でリプシッツ同値である $f_1 \times \cdots \times f_d \times \text{id}$ の形の標準写像に一様に近いことが示された。しかし、$k$ が $q$ の素因数の積でない場合には、このような写像は存在できない。
• 本構成は、従来の $F \wr \mathbb{Z}$ に関する結果を高ランク群に一般化し、このような性質を持つ最初のファイニットに提示された例を提供した。