[論文レビュー] Binary Locally Repairable Codes ---Sequential Repair for Multiple Erasures

Wentu Song, Chau Yuen|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2015

Advanced Data Storage Technologies参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、[r+1,r]単一パリティチェック符号のm個のコピーの直積として構成される二値局所的復旧可能符号（LRC）の族を提案する。これらの符号は、局所性rのもとで最大$2^m - 1$個の消失を逐次復旧可能であり、並列復旧手法に比べて著しく優れた消失耐性を示す一方で、高いコードレートを維持しており、分散ストレージシステムにおける逐次復旧の優位性を示している。

ABSTRACT

Locally repairable codes (LRC) for distribute storage allow two approaches to locally repair multiple failed nodes: 1) parallel approach, by which each newcomer access a set of $r$ live nodes $(r$ is the repair locality$)$ to download data and recover the lost packet; and 2) sequential approach, by which the newcomers are properly ordered and each newcomer access a set of $r$ other nodes, which can be either a live node or a newcomer ordered before it. An $[n,k]$ linear code with locality $r$ and allows local repair for up to $t$ failed nodes by sequential approach is called an $(n,k,r,t)$-exact locally repairable code (ELRC). In this paper, we present a family of binary codes which is equivalent to the direct product of $m$ copies of the $[r+1,r]$ single-parity-check code. We prove that such codes are $(n,k,r,t)$-ELRC with $n=(r+1)^m,k=r^m$ and $t=2^m-1$, which implies that they permit local repair for up to $2^m-1$ erasures by sequential approach. Our result shows that the sequential approach has much bigger advantage than parallel approach.

研究の動機と目的

• 分散ストレージシステムにおける複数ノード障害の処理に向け、局所的復旧可能符号（LRC）における逐次復旧の可能性を調査すること。
• 従来の並列復旧ではなく、逐次復旧戦略を用いて最大$t = 2^m - 1$個の消失を正確復旧可能な二値LRCを構築すること。
• m個の[r+1,r]単一パリティチェック符号の直積が、$n = (r+1)^m$、$k = r^m$、$t = 2^m - 1$を満たす$(n,k,r,t)$-正確局所的復旧可能符号（ELRC）を形成することを示すこと。
• この構成が最適なコードレートを達成し、並列復旧に基づくLRCの亜クラスに比べて著しく高い消失耐性を実現することを確立すること。

提案手法

• m個の[r+1,r]単一パリティチェック符号の直積として符号を構築し、長さ$n = (r+1)^m$、次元$k = r^m$の二値線形符号が得られること。
• 各座標$eta eq 0$に対して、$eta imes eta^{(i)}$における$R^{(i)}_eta$を定義し、サイズ$r$の局所的復旧集合を形成すること。
• mに関する再帰的帰納法を用いて、任意の$2^m - 1$個以下の消失座標からなる集合$E$に対して、$R \setminus \beta \not\bigcup E$を満たす$eta \notin E$が存在することを示し、逐次復旧の可能性を保証すること。
• 積符号の構造と[r+1,r]符号の性質を活用し、各符号記号がサイズ$r$の$m$個の互いに素な復旧集合を持つことを保証することで、高い可用性と逐次復旧を可能にすること。
• 任意のサイズが$2^m - 1$以下の部分集合$E$に対して、$E$の外側にすべての復旧集合メンバーを持つ復旧可能な符号記号$eta \notin E$が存在することを示し、$t = 2^m - 1$の$(n,k,r,t)$-ELRCであることを証明すること。
• Lemma 8を適用し、$E$の外側に完全に含まれる復旧集合を持つ符号記号の存在が、$t = 2^m - 1$個の消失に対する逐次復旧を可能にすることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的復旧可能符号における逐次復旧戦略は、並列復旧手法に比べて著しく多くの消失を処理できるか？

主な発見

• m個の[r+1,r]単一パリティチェック符号の直積は、$n = (r+1)^m$、$k = r^m$、局所性$r$を満たす二値線形符号を形成する。
• この符号は、$t = 2^m - 1$を満たす$(n,k,r,t)$-正確局所的復旧可能符号（ELRC）であり、最大$2^m - 1$個の消失に対して逐次復旧が可能である。
• コードレート$rac{k}{n} = rac{r^m}{(r+1)^m}$が最適であり、$(r,t)$-CLRC や可用性に基づく符号などの並列復旧に基づくLRCの既知の境界を上回る。
• 逐次復旧戦略により、複数のノードが同時に障害を起こしても、適切な復旧順序をとることで、各新規ノードが$r$個のヘルパー・ノードのみを用いて最大$2^m - 1$個の消失を復旧可能となる。
• この構成により、並列復旧が$t$個の$t$-非交差復旧集合に制限されるのに対し、逐次復旧ははるかに高い消失耐性を達成できることを示している。
• 証明は、$bZ_{r+1}^m$の積空間上で帰納的に行われ、任意のサイズが$2^m - 1$以下の集合$E$に対して、$E$の補集合に完全に含まれる復旧集合を持つ符号記号$eta \notin E$が存在することを示している。