[論文レビュー] Binary words avoiding xx^Rx and strongly unimodal sequences

James D. Currie, Narad Rampersad|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2015

semigroups and automata theory参考文献 2被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$xx^R x$ を避ける二進語の数が、多項式的でも指数的でもない中間的成長率を示す。これは、強いための単調列に密接に関連する整数列のクラスと、その語の間の全単射を構築することによって達成される。主な貢献は、母関数と漸近解析を用いた成長率の明確な特徴付けであり、明示的な評価と分割論の理論への関連が示されている。

ABSTRACT

In previous work, Currie and Rampersad showed that the growth of the number of binary words avoiding the pattern xxx^R was intermediate between polynomial and exponential. We now show that the same holds for the growth of the number of binary words avoiding the pattern xx^Rx. Curiously, the analysis for xx^Rx is much simpler than that for xxx^R. We derive our results by giving a bijection between the set of binary words avoiding xx^Rx and a class of sequences closely related to the class of "strongly unimodal sequences."

研究の動機と目的

• パターン $xx^R x$ を避ける二進語の成長率を特徴付けること。ここで $x^R$ は $x$ の逆順を表す。
• このような語と強いための単調列に関連する整数列のクラスとの直接的な関係を確立すること。
• パターン $xx^R x$ を避ける二進語の言語の完全な組合せ的特徴付けを提供すること。
• Ogdenの補題に基づく直接的証明により、この言語が文脈自由でないことを示すこと。
• 本稿で以前に研究された $xxx^R$ を避ける言語の成長率と比較すること。

提案手法

• パターン $xx^R x$ を避ける二進語の因子分解を、セグメント $A_i$、$a_i$、$a_i A_i a_{i+1}$ に分け、長さを符号化する列 $f(w) = (n_0, \dots, n_k)$ を得る。
• タイプ1（厳密に単調）およびタイプ2（平坦部を有する）の整数列の集合 $X$ を定義し、$n_{j-1} \geq n_j$ かつ $n_j \leq n_{j+1}$ となるインデックスが存在しないことによって特徴付ける。
• 長さ $n$ の $L_0$（0で始まる語）に属する語と、重み $n$ の $X$ に属する列との間の一対一対応を、写像 $f$ を用いて確立する。
• 母関数を用いる：$X$ に属する列の母関数は $\prod_{j=1}^\infty (1 + q^j)^2$ に関連し、これは相異なる部分の重複度付きの分割を数える。
• 母関数における過剰数え上げを補正するため、タイプ1の列（二重に数え上げられた）とタイプ2の列（半分だけ数え上げられた）を調整し、$v(n)$ の評価を得る。
• Ogdenの補題を用いて、$a^i b^j c^k d^\ell$ に特定の不等式を課した非文脈自由言語への還元により、言語 $L$ が文脈自由でないことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パターン $xx^R x$ を避ける二進語の数の成長率は何か？
• RQ2 パターン $xx^R x$ を避ける二進語と整数列のクラスとの間で全単射を確立できるか？
• RQ3 パターン $xx^R x$ を避ける語の成長率は、$xxx^R$ を避ける語の成長率とどのように異なるか？
• RQ4 パターン $xx^R x$ を避ける二進語の言語は文脈自由か？
• RQ5 長さ $n$ の関数として、このような語の数の漸近的挙動は何か？

主な発見

• 長さ $n$ のパターン $xx^R x$ を避ける二進語の数 $c(n)$ は、$\tilde{u}(n) \leq c(n) \leq 2\tilde{u}(n)$ を満たす。ここで $\tilde{u}(n)$ は、重み $n$ の $X$ に属する整数列の数である。
• $\tilde{u}(n)$ の漸近的成長は、$\tilde{u}(n) = \frac{\sqrt{3}}{(24n-1)^{3/4}} \exp\left(\frac{\pi}{6}\sqrt{24n-1}\right)\left(1 + O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}\right)\right)$ で与えられ、中間的成長であることが確認される。
• パターン $xx^R x$ を避ける言語 $L$ は文脈自由ではなく、非文脈自由言語への還元後に Ogden の補題を直接適用することで証明される。
• パターン $xx^R x$ を避ける語の数は、$xxx^R$ を避ける語の数よりも著しく速やかに増加する。後者の成長率は以前に $e^{\log^2 n}$ と推定されている。
• 列 $c(n)$ は OEIS におけるシーケンス A261204 に、$\tilde{u}(n)$ は A022567 に該当し、$n = 0$ から $12$ までの明示的な値が提供されている。
• 全単射 $L_0$ と $X$ に属する列の間の証明は、$f(w) \notin X$ であることが $w$ が $xx^R x$ のインスタンスを含むことと同値であることを示す場合分けによりなされる。