[論文レビュー] Birational geometry in codimension 2 of symplectic resolutions

Baohua Fu|ArXiv.org|Sep 14, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、特定のシンプレクティック多様体—具体的には古典的リー代数におけるべき零軌道閉包および一部の商シンプレクティック多様体—の2つの射影的シンプレクティック解消が、2次元コディメンジョンでMukaiの基本的変形（METs）の系列によって関連付けられることを証明している。主な貢献は、このような解消の間の双有理写像が2次元コディメンジョンでMETsによって誘導されるという予想を確立したことであり、幾何学的および群論的技法を用いて、既知の4次元の場合の結果を高次元へと拡張した。

ABSTRACT

We prove the conjecture that two projective symplectic resolutions for a symplectic variety $W$ are related by Mukai's elementary transformations over $W$ in codimension 2 in the following cases: (i). nilpotent orbit closures in a classical simple complex Lie algebra; (ii). some quotient symplectic varieties.

研究の動機と目的

• 射影的シンプレクティック解消の間の双有理写像が2次元コディメンジョンでMukaiの基本的変形（METs）によって誘導されるという予想を検証すること。
• 4次元シンプレクティック多様体に関する既知の結果を高次元の場合へと拡張すること。
• 群作用およびMcKay対応が、商特異点のシンプレクティック解消を制御する役割を果たすことを探ること。
• シンプレクティック多様体が、同型を除いて高々1つの射影的シンプレクティック解消を持つための条件を提示すること。

提案手法

• Namikawaのシンプレクティック解消および古典的リー代数におけるべき零軌道の幾何に関する結果を用いる。
• 分層的Mukaiフロップの概念を用いて、べき零軌道閉包の解消の間の双有理写像を分析する。
• GがGL(V)の有限部分群であるときの形の商シンプレクティック多様体(T^*V)/Gを分析し、2次元コディメンジョンの固定点部分空間に注目する。
• McKay対応を用いて、群元の共軌型類を解消における特異的locusの成分と関連付ける。
• シンプレクティック解消の半小さな性質を用いて、特異的locusの逆像のコディメンジョンを制御する。
• 部分多様体上でのP^n-バンドルの明示的幾何的記述を用いて、METsの中心を特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的リー代数におけるべき零軌道閉包\overline{\mathcal{O}}の2つの射影的シンプレクティック解消は、2次元コディメンジョンでMukaiの基本的変形によって関連づけられるか？
• RQ2 G < GL(V)に対して、どのような群論的条件下で(T^*V)/Gの2つの射影的シンプレクティック解消が2次元コディメンジョンで同型となるか？
• RQ3 G < GL(2)で、1でないすべての元の固有値が1でないものからなる集合が1つの共軌型類をなすとき、(T^*\mathbb{C}^2)/Gは同型を除いて高々1つの射影的シンプレクティック解消を持つだろうか？
• RQ4 解消の幾何は、Vの2次元コディメンジョン部分空間を固定するGの元の共軌型類とどのように関係するか？
• RQ5 2次元コディメンジョンにおけるMETsは、シンプレクティック解消の双有理幾何をどの程度制御するか？

主な発見

• 古典的リー代数におけるべき零軌道閉包\overline{\mathcal{O}}に対して、任意の2つの射影的シンプレクティック解消は、2次元コディメンジョンにおけるMukaiの基本的変形の系列によって接続される。
• G < GL(V)が、任意の2次元コディメンジョン部分空間H \subset Vに対して、集合\{g \in G \mid V^g = H\}が1つの共軌型類をなすならば、(T^*V)/Gの任意の2つの射影的シンプレクティック解消は2次元コディメンジョンで同型である。
• このような解消の間の双有理写像は2次元コディメンジョンで同型であるため、非自明なフロップは発生しない。
• G < GL(2)で、すべての非恒等元の固有値が1でないものが1つの共軌型類をなすとき、(T^*\mathbb{C}^2)/Gは同型を除いて高々1つの射影的シンプレクティック解消を持つ。
• 解消における一意の2次元コディメンジョン成分は、2次元コディメンジョン部分空間を固定する群元の共軌型類にちょうど一致し、その構造により非自明なMETsの存在が排除される。
• この結果は、McKay対応に基づく既存の一意性結果を一般化し、複素反射が1つの共軌型類をなす場合に限定されない範囲へと拡張している。