[論文レビュー] Black hole as topological insulator (II): the boundary modes

Jingbo Wang|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2017

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、境界BF理論を用いて境界自由度を分析することにより、特に3+1次元におけるブラックホールがトポロジカル絶縁体として理解可能であると提案する。孤立した事象の境界には質量ゼロのスカラー場およびベクトル場が存在し、これらが2+1次元ボソン化によって質量ゼロのディラックフェルミオンに統合される。これは3+1次元トポロジカル絶縁体の境界モードと一致し、ブラックホール事象に内在する幾何的保護されたトポロジカル位相を確立する。

ABSTRACT

In the previous paper Ref.[1], it was claimed that the black hole can be considered as a kind of topological insulator. For BTZ black hole in three dimensional $AdS_3$ spacetime two evidences were given to support this claim: the first evidence comes from the black hole "membrane paradigm", and the second evidence comes from the fact that the horizon of BTZ black hole can support two chiral massless scalar field with opposite chirality. Those are two key properties of 2D topological insulator. For higher dimensional black hole the first evidence is still valid but the second fails. In this paper, starting from the boundary BF theory, which can be used to describe the boundary degrees of freedom of black hole in arbitrary dimension, we shown that the isolated horizon of $3+1-$D black hole can support massless scalar field and vector field. Those two fields can be used to construct a massless Dirac field through the $2+1-$dimensional bosonization, which also appears on the boundary of $3+1-$D topological insulators.

研究の動機と目的

• 2+1次元BTZブラックホールに限らない、特に3+1次元時空へのブラックホールのトポロジカル絶縁体アナロジーの拡張。
• 境界BF理論を統一的枠組みとして用い、孤立事象における境界自由度を同定する。
• これらの境界モード（スカラーおよびベクトル場）がボソン化によって質量ゼロのディラックフェルミオンに統合され、3+1次元トポロジカル絶縁体の特徴的構造を再現することを示す。
• これらのモードのトポロジカル保護が内部対称性ではなく、孤立事象の幾何学的構造に起因することを主張する。
• BF理論の係数Cに基づき、ブラックホールが整数的または分数的トポロジカル絶縁体として機能するかを検討する。

提案手法

• 任意次元における事象自由度を記述するために境界BF理論の形式的枠組みが適用され、作用は $ S = \int_\Delta B \wedge dA $ で与えられる。
• 作用の簡略化と場 $ \beta $ および $ B $（事象のスピン接続および補助場）の力学の導出のため、ゲージ条件 $ A_0 = 0 $ が導入される。
• Canonical次元を固定し、トポロジカル絶縁体モデルと整合性を保つために、$ \tilde{\beta} = \sqrt{C/(8\pi G\kappa)} \beta $、$ \tilde{B} = \pi \sqrt{8\pi C G \kappa} B $ のスケーリングが施される。
• 2+1次元ボソン化が適用され、スカラー $ \tilde{B} $ およびベクトル $ \tilde{A} $ 場が質量ゼロのディラックフェルミオンに統合され、3+1次元トポロジカル絶縁体の境界モード構造と一致する。
• 表面重力 $ \kappa $ は孤立事象上で定数とみなされ、境界モードの幾何的保護を保証する。
• BF作用の係数 $ C $ が整数的（$ C = \pi $）または分数的トポロジカル絶縁体位相を区別する役割を果たすかを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3+1次元ブラックホール事象の境界自由度は、トポロジカル絶縁体的挙動を捉える境界BF理論で記述可能か？
• RQ2 4次元ブラックホールの孤立事象上でのスカラー場およびベクトル場は、2+1次元ボソン化によって、3+1次元トポロジカル絶縁体と同様に質量ゼロのディラックフェルミオンに統合されるか？
• RQ3 ブラックホールにおける境界モードのトポロジカル保護は、時間反転対称性などの内部対称性ではなく、幾何的制約（例えば、孤立事象構造）に起因するか？
• RQ4 BF理論係数 $ C $ は、ブラックホールが整数的または分数的トポロジカル絶縁体として振る舞うかを決定づける役割を果たすか？
• RQ5 高次元ブラックホールの境界場内容は、2+1次元および3+1次元のケースを超えてどのように一般化されるか？

主な発見

• 3+1次元ブラックホールの孤立事象上での境界BF理論は、スカラー場 $ \tilde{B} $ およびベクトル場 $ \tilde{A} $ を支持し、これらは3次元空間において共通の質量次元1/2を持つ。
• 場の再スケーリング後、両場は $ \partial_\mu \tilde{\beta} + \epsilon_{\mu\nu\rho} \partial^\nu \tilde{B}^\rho = 0 $ の双対条件を満たし、2+1次元ボソン化が一貫して可能になる。
• ボソン化手順により、事象上に質量ゼロのディラックフェルミオンが生成され、3+1次元トポロジカル絶縁体の境界モード構造と一致する。
• 境界モードは、特に表面重力 $ \kappa $ の定数性に起因する孤立事象条件によって幾何的に保護されており、時間反転対称性などの他の対称性によるものではない。
• BF作用の係数 $ C $ がトポロジカル性を決定づける：$ C = \pi $ は整数的トポロジカル絶縁体に対応し、他の値は分数的位相を記述する可能性があるが、$ C $ はブラックホール熱力学によって固定されない。
• この枠組みは $ n+1 $ 次元ブラックホールに一般化可能であり、境界理論にはスカラー場 $ \beta $ および $ (n-2) $ 次形式場 $ B $ が含まれ、ブラックホール事象とトポロジカル位相の間の普遍的関係を示唆する。