[論文レビュー] Blended General Linear Methods based on Boundary Value Methods in the GBDF family

Luigi Brugnano, Cecilia Magherini|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2010

Numerical methods for differential equations参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、一般化されたBDF（GBDF）族に属する境界値法（BVM）から導出することで、任意の高次のL安定性を有する一般線形法（GLM）の新規族を提案する。この手法はブレンドド実装を用いて非線形ソルバーの効率を向上させ、遅延微分方程式（DASSL）やBiMDといった既存の剛性ODEソルバーと比較して優れた性能を示す数値実験が行われ、遅れ補正を用いた収束性と誤差制御が実証された。

ABSTRACT

Among the methods for solving ODE-IVPs, the class of General Linear Methods (GLMs) is able to encompass most of them, ranging from Linear Multistep Formulae (LMF) to RK formulae. Moreover, it is possible to obtain methods able to overcome typical drawbacks of the previous classes of methods. For example, order barriers for stable LMF and the problem of order reduction for RK methods. Nevertheless, these goals are usually achieved at the price of a higher computational cost. Consequently, many efforts have been made in order to derive GLMs with particular features, to be exploited for their efficient implementation. In recent years, the derivation of GLMs from particular Boundary Value Methods (BVMs), namely the family of Generalized BDF (GBDF), has been proposed for the numerical solution of stiff ODE-IVPs. In particular, this approach has been recently developed, resulting in a new family of L-stable GLMs of arbitrarily high order, whose theory is here completed and fully worked-out. Moreover, for each one of such methods, it is possible to define a corresponding Blended GLM which is equivalent to it from the point of view of the stability and order properties. These blended methods, in turn, allow the definition of efficient nonlinear splittings for solving the generated discrete problems. A few numerical tests, confirming the excellent potential of such blended methods, are also reported.

研究の動機と目的

• 剛性ODE-IVPを解くための、任意の高次のL安定GLMの開発。
• 従来のRK法やLMF法に共通する次数低下および安定性の制限を克服すること。
• GLMから生じる離散的非線形方程式系の効率的解法を、ブレンドド反復により実現すること。
• ブレンドドフレームワーク内での遅れ補正を用いて、頑健な誤差推定とステップサイズ制御を保証すること。

提案手法

• 境界値法（BVM）のGBDF族からGLMを導出し、L安定性と高次の精度を保証する。
• 元のGLM系を再定式化することで、ブロック対角構造を有し、収束する反復解法戦略を可能にするブレンドドGLMを構築する。
• 線形方程式系の分割を用いてブレンドド反復を実装し、ブロック対角部分問題を効率的に解く。
• 同じ手法の高次バージョンを解くことで、局所切断誤差を推定するための遅れ補正を用いる。
• ステップサイズの変更および初期推定値生成のため、Nordsiek型の開始手順を適用する。
• 手法の安定性フレームワークに基づき、ブレンドド反復のL収束性を証明することで収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 GBDF族に属するBVMから、任意の高次のL安定GLMを体系的に導出可能か？
• RQ2 得られた離散的非線形方程式系を、安定性や次数を損なわずに効率的に解く方法は何か？
• RQ3 離散問題を解くために用いられるブレンドド反復スキームの収束特性はいかなるものか？
• RQ4 これらの高次手法において、遅れ補正による誤差推定は実際の運用でどの程度の性能を示すか？
• RQ5 Blended GBDF法は、精度および計算コストの観点から、既存の剛性ODEソルバーとどの程度競合可能か？

主な発見

• 提案されたブレンドドGLMは、L安定性と任意の高次の精度を達成しており、従来の手法における古典的次数障壁を克服した。
• ブレンドド反復スキームはL収束性を示し、対応するL安定手法に対する頑健な収束性を保証する。
• 数値実験の結果、固定次数のブレンドドGBDFソルバーは、DASSL、BiMD、GAMDといった高品質なコードと比較して、複数の剛性問題において競争力のある性能を示した。
• 遅れ補正による誤差推定は計算コストが低く、1回のブレンドド反復と同等のコストで実現可能であった。
• 高い次数の柔軟性と安定した構造を有するため、変次数実装に適している。
• Nordsiekに基づく開始手順により、効果的なステップサイズ制御が可能となり、アダプティブ統合を支援する。