[論文レビュー] Blocks for mod $p$ representations of $GL_2(Q_p)$

Vytautas Paškūnas|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2011

Advanced Algebra and Geometry参考文献 8被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、$\ mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の絶対的単純な mod $p$ 表現の非分解拡大が、主系列および対称冪表現から構成されるユニタリ Banach 空間表現の mod $p$ 減少において部分商として生じることを確立する。主な貢献は、クリスタルリン表現の mod $p$ 減少に関する Berger-Breuil 理論を用いてブロック（非分解拡大に関する同値類）を分類することであり、$p=2$ についての新しい結果と、すべての $p$ に対して一様に成立する証明を含む。ブロックは主系列、Steinberg、および特別系列表現を用いて明示的に記述され、$p$ と中心的特徴の有無に応じて場合分けされる。

ABSTRACT

Let $π_1$ and $π_2$ be absolutely irreducible smooth representations of $G=GL_2(Q_p)$ with a central character, defined over a finite field of characteristic $p$. We show that if there exists a non-split extension between $π_1$ and $π_2$ then they both appear as subquotients of the reduction modulo $p$ of a unit ball in a crystalline Banach space representation of $G$. The results of Berger-Breuil describe such reductions and allow us to organize the irreducible representation into blocks. The result is new for $p=2$, the proof, which works for all $p$, is new.

研究の動機と目的

• 絶対的単純な滑らかな mod $p$ 表現の $\ mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ のブロックを非分解拡大に関して分類すること。
• 非ゼロの $\ mathrm{Ext}^1$ を持つような、そのような表現の任意のペアが、ユニタリ Banach 表現の mod $p$ 減少における部分商として実現されることを示すこと。
• 以前は未解決であった $p=2$ の場合を含むブロックの分類を、すべての $p$ に対して一様に成立する方法で拡張すること。
• クリスタルリン Banach 表現の減少に関する Berger-Breuil 理論を用いて、mod $p$ 表現の構造をブロックに整理すること。

提案手法

• 形式 $\mathrm{Ind}_B^G(\chi_1 \otimes \chi_2|\cdot|^{-1})_{\mathrm{sm}} \otimes \det^l \otimes \mathrm{Sym}^{k-1}L^2$ の表現のユニバーサルユニタリ完備化を構成する。
• この Banach 表現における $G$-不変な有界開ラティスをとり、$\varpi$ を法として還元して mod $p$ 表現を得る。
• Berger-Breuil の分類を用いて、この還元の半単純化 $\overline{\Pi}^{ss}$ を記述する。
• 適切な表現論および $\ mathrm{Ext}^1$-類の理論を適用し、任意の絶対的単純な mod $p$ 表現の間の非分解拡大が、このような還元から生じることを示す。
• 非ゼロの $\ mathrm{Ext}^1$ を持つことによって、可約な適切な mod $p$ 表現の間の同値関係を定義し、この関係に関する同値類をブロックと定義する。
• （Barthel-Livné, Breuil の結果を用いて）絶対的単純な滑らかな mod $p$ 表現の分類を用い、特別または超特異表現の有無に応じて $p$ ごとに場合分けして、すべての可能なブロックを列挙する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 絶対的単純な mod $p$ 表現の $\ mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ のどのペアが非分解拡大を許容できるか。
• RQ2 そのような非分解拡大は、ユニタリ Banach 空間表現の mod $p$ 減少における部分商として実現可能か。
• RQ3 特に $p=2$ の場合に、mod $p$ 表現のブロック（非分解拡大に関する同値類）の構造はどのようになるか。
• RQ4 ブロックは中心的特徴および残差体 $k$ にどのように依存するか。
• RQ5 クリスタルリン表現の mod $p$ 減少に関する Berger-Breuil 理論を用いて、すべてのこのようなブロックを分類できるか。

主な発見

• $p=2$ の場合、ブロック $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}\} \otimes \delta \circ \det$ が、ユニタリ Banach 表現の mod $p$ 減少における部分商として実現される。
• $p \geq 5$ の場合、ブロック $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}, (\mathrm{Ind}_B^G(\omega \otimes \omega^{-1}))_{\mathrm{sm}}\} \otimes \delta \circ \det$ が同様の還元から生じる。
• $p=3$ の場合、ブロック $\{\mathbf{1}, \mathrm{Sp}, \omega \circ \det, \mathrm{Sp} \otimes \omega \circ \det\} \otimes \delta \circ \det$ が同様に実現される。
• $p>2$ の場合、ブロック $\{ (\mathrm{Ind}_B^G(\delta \otimes \delta \omega^{-1}))_{\mathrm{sm}} \}$ は主系列の場合の退化として現れる。
• ブロックの分類は完全であり、$p$、中心的特徴、およびユニタリ Banach 表現の mod $p$ 減少の構造に依存する。
• この結果は $p=2$ に対して新規であり、証明はすべての $p$ に対して一様に適用可能であり、$\ mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ の mod $p$ 表現のブロックを一様に分類する。