[論文レビュー] Blocks of restricted rational Cherednik algebras for $G(m,d,n)$

Maurizio Martino|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2010

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$t=0$ におけるDunkl-Opdam部分代数を用いて、複素反射群 $G(m,d,n)$ の制限 rational Cherednik 代数のブロック分解を決定する。ベビーヴェルマ加群が同じブロックに属するための必要十分条件として、重み付きmultipartition における残留値の和が一致することを示し、パrameterが任意の値である場合に一般化された結果を得るとともに、組合せ論的構造をcyclotomic Hecke 代数と結びつける。

ABSTRACT

We study the Dunkl-Opdam subalgebra of the rational Cherednik algebra for wreath products at $t=0$, and use this to describe the block decomposition of restricted rational Cherednik algebras for $G(m,d,n)$.

研究の動機と目的

• 制限 rational Cherednik 代数のブロック分類を、既に知られていた有理数パラメータの場合にとどまらず、任意のパラメータへと拡張すること。
• 表現論的不変量を用いて $G(m,d,n)$ の表現論と cyclotomic Hecke 代数との関係を明確化すること。
• Dunkl-Opdam部分代数の固有値を用いて、$\overline{H}_c$ の一般化されたブロック分解公式を確立すること。
• $G(m,1,n)$ からの結果を一般化し、特に $d \mid m$ の場合に $G(m,d,n)$ の正規部分群へ応用すること。
• 不等価パラメータ下でも、Cherednik 代数のブロックと Hecke 代数のファミリーおよびセルを統一的に結びつける枠組みを提供すること。

提案手法

• 直接計算および一般化された Jack 多項式を用いて、$H_c$ の可換部分代数 $\mathfrak{Z}_c$ を構成し、$z_i$ によって生成されることを示す。
• ベビーヴェルマ加群 $\overline{\Delta}_c(\boldsymbol{\lambda})$ における $\mathfrak{Z}_c$ の作用を用いて、固有値の比較によりブロック分解を決定する。
• multipartition $\boldsymbol{\lambda}$ の各成分 $\lambda^i$ の残留値 $\mathrm{Res}_{\lambda^i}(x)$ を定義し、重み $a_i$ を導入して重み付き残留値和を形成する。
• 2つのベビーヴェルマ加群が同じブロックにあるための必要十分条件が、$\sum_{i=0}^{m-1} x^{a_i} \mathrm{Res}_{\lambda^i}(x^{-\kappa})$ が等しいことであることを証明する。
• $c$ パrameter の制限と multipartition における $C_d$-作用の軌道解析を用いて、$G(m,d,n)$ に結果を適用する。
• 既知の結果 [Bel] を活用し、$d$-stuttering multipartition と軌道構造に基づく場合分けにより、$G(m,d,n)$ のブロック分解を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $t=0$ のとき、$G(m,d,n)$ の制限 rational Cherednik 代数のブロック分解はパラメータ $c$ にどのように依存するか？
• RQ2 任意のパラメータにおいて、Dunkl-Opdam部分代数を用いて $t=0$ の場合のブロック分類が可能か？
• RQ3 2つのベビーヴェルマ加群が $G(m,d,n)$ で同じブロックにあるための正確な組合せ論的条件は何か？
• RQ4 $\overline{H}_c(G(m,d,n))$ のブロックと cyclotomic Hecke 代数 $H_n^a$ のブロックとはどのように関係するか？
• RQ5 同じ軌道を持つが異なるシステムキャラクターを持つ $G(m,d,n)$ の既約加群が同じブロックにあるための条件は何か？

主な発見

• $\overline{H}_c$ の $G(m,d,n)$ におけるブロック分解は、multipartition $\boldsymbol{\lambda}$ と $\boldsymbol{\mu}$ に対して、重み付き残留値和 $\sum_{i=0}^{m-1} x^{a_i} \mathrm{Res}_{\lambda^i}(x^{-\kappa})$ の等価性によって決定される。
• $\kappa \neq 0$ のとき、ブロック条件は $\sum_{i=0}^{m-1} x^{a_i} \mathrm{Res}_{\lambda^i}(x) = \sum_{i=0}^{m-1} x^{a_i} \mathrm{Res}_{\mu^i}(x)$ に簡略化され、有理数の場合と一致する。
• $\kappa = 0$ のとき、ブロック条件は $\sum_{i=0}^{m-1} x^{a_i} |\lambda^i| = \sum_{i=0}^{m-1} x^{a_i} |\mu^i|$ に簡略化され、成分のサイズにのみ依存する。
• $\boldsymbol{\lambda}$ が $d$-stuttering であり、残留値和が他のすべての $\boldsymbol{\mu}$ と異なる場合、$\overline{\Delta}_{c'}(\{\boldsymbol{\lambda}\}, \epsilon)$ と $\overline{\Delta}_{c'}(\{\boldsymbol{\lambda}\}, \eta)$ が同じブロックにあるのは $\epsilon = \eta$ のときに限る。これは軌道構造を反映している。
• $G(m,d,n)$ のブロック構造は、軌道 $\{\boldsymbol{\lambda}\}$ とキャラクター $\epsilon$ によって完全に決定され、残留値和の条件が満たされる場合にのみブロックが合体する。
• 本結果により、非有理数パラメータ下でも Cherednik 代数のブロックと Rouquier ファミリーの間の予想された関係が裏付けられた。