[論文レビュー] Blow ups of $\mathbb{P^n}$ as quiver moduli for exceptional collections

Xuqiang Qin|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、3つのラインバンドからなる強い例外的集合を用いて、次元 $m$ の線型部分空間に沿った $\mathbb{P}^n$ の吹き上げが、関係のない3頂点のクイバーの半安定表現のモジュライ空間に同型であることを示している。この構成では、特定の安定性条件に対して吹き上げをクイバーのモジュライ空間として実現し、安定性条件を変化させることで吹き下げ写像がモジュライ空間間の準同型として得られることを示している。

ABSTRACT

Suppose $P^n_m$ is the blow up of $\mathbb{P}^n$ at a linear subspace of dimension $m$, $\mathcal{L}=\{L_1,\ldots,L_r\}$ is a (not necessarily full) strong exceptional collection of line bundles on $P^n_m$. Let $Q$ be the quiver associated to this collection. One might wonder when is $P^n_m$ the moduli space of representations of $Q$ with dimension vector $(1,\ldots,1)$ for a suitably chosen stability condition $θ$: $S\cong M_θ$. In this paper, we achieve such isomorphism using $\mathcal{L}$ of length $3$. As a result, $P^n_m$ is the moduli space of representations of a very simple quiver. Moreover, we realize the blow up as morphism of moduli spaces for the same quiver.

研究の動機と目的

• 次元 $m$ の線型部分空間に沿った $\mathbb{P}^n$ の吹き上げが、次元ベクトル $(1,1,1)$ のクイバーの表現のモジュライ空間として実現可能かどうかを特定すること。
• 吹き上げ $\mathbb{P}^n_m$ と同型な半安定表現のモジュライ空間をもつ、明示的なクイバーと安定性条件を構成すること。
• 自然な収縮 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ が安定性条件を変化させることでクイバーのモジュライ空間間の準同型として実現されることを示すこと。
• 吹き上げ上での非フルな例外的集合へのフレームワークを拡張し、非可換幾何的解釈を提供すること。

提案手法

• 吹き上げ $\mathbb{P}^n_m$ 上に3つのラインバンドからなる強い例外的集合を構成する：$\mathcal{O}$, $\mathcal{O}(H-E)$, $\mathcal{O}(H)$、ここで $H$ は超平面類の引き戻し、$E$ は特異除集合である。
• この集合に対応するクイバー $Q$ を構成する。3頂点と、ラインバンド間の $\mathrm{Ext}$ 群に対応する矢印を持ち、関係のないクイバーが得られる。
• 次元ベクトル $(1,1,1)$ のモジュライ空間が整数的モジュライ空間であることを保証するため、$p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$, $p < q$ を満たす安定性条件 $\theta = (-p, p-q, q)$ を定義する。
• 吹き上げの普遍性と例外的集合の構造を用いて、自然な有理写像 $T: \mathbb{P}^n_m \dashrightarrow M_\theta$ が同型であることを証明する。
• 第二の安定性条件 $\theta' = (-p, 0, p)$ を構成し、$\mathbb{P}^n$ がモジュライ空間 $M_{\theta'}$ と同型であることを示す。また、表現上の恒等写像が $M_\theta \to M_{\theta'}$ への準同型 $\pi'$ に降下することを示す。
• モジュライ空間の射影座標を比較することで、$\pi'$ が自然な吹き下げ準同型 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ と一致することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $m$ の線型部分空間に沿った $\mathbb{P}^n$ の吹き上げ $\mathbb{P}^n_m$ は、次元ベクトル $(1,1,1)$ のクイバーの表現のモジュライ空間として実現可能か？
• RQ2 どの安定性条件 $\theta$ に対して、関連するクイバーの半安定表現のモジュライ空間 $M_\theta$ が $\mathbb{P}^n_m$ と同型になるか？
• RQ3 安定性条件を変化させることで、吹き下げ準同型 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ がクイバーのモジュライ空間間の準同型として実現可能か？
• RQ4 吹き上げ $\mathbb{P}^n_m$ 上の例外的集合 $\{\mathcal{O}, \mathcal{O}(H-E), \mathcal{O}(H)\}$ の構造が、このようなモジュライ空間同型の構成をどのように促進するか？

主な発見

• 安定性条件 $\theta = (-p, p-q, q)$ に対して、次元ベクトル $(1,1,1)$ のクイバー $Q$ の半安定表現のモジュライ空間 $M_\theta$ は $\mathbb{P}^n_m$ と同型である。ここで $p, q \in \mathbb{Z}_{>0}$ かつ $p < q$ である。
• 自然な有理写像 $T: \mathbb{P}^n_m \dashrightarrow M_\theta$ は、吹き上げの普遍性と例外的集合の構造を用いて同型であることが示された。
• 安定性条件 $\theta' = (-p, 0, p)$ に対して、モジュライ空間 $M_{\theta'}$ は $\mathbb{P}^n$ と同型であり、座標は $x_1, \ldots, x_m, (x_{m+1}e), \ldots, (x_n e)$ で与えられる。
• 表現上の恒等写像が $M_\theta \to M_{\theta'}$ への準同型 $\pi'$ に降下し、これは自然な吹き下げ準同型 $\pi: \mathbb{P}^n_m \to \mathbb{P}^n$ と同型である。
• $M_{\theta'}$ 内の厳密に半安定な表現は、$M_\theta$ 内の特異除集合 $C \cong \mathbb{P}^m \times \mathbb{P}^{n-m-1}$ に対応し、その軌道の閉包が単一の点に収縮することにより、収縮が説明される。
• クイバー $Q$ は関係がなく、構造的に最小であるため、吹き上げをクイバーのモジュライ空間として実現する上では特に単純かつ効果的である。