[論文レビュー] Book embeddings of graphs and a theorem of Whitney

Paul C. Kainen, Shannon Overbay|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2021

Advanced Graph Theory Research参考文献 13被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、すべての三角形が面を囲む「きれいに平面的」なグラフ—つまり、すべての三角形が面を囲むグラフ—が二ページの本埋め込みを許容することを確立している。これはホイットニーの定理を拡張したものである。本の厚さはそのブロック（最大非分離部分グラフ）の本の厚さの最大値によって決定されることを示し、X-ツリーと正方形グリッドに対する効率的な埋め込みを可能にしている。また、平面的グラフが本の厚さが2以下であるグラフと位相的に同相であることも示している。

ABSTRACT

It is shown that the number of pages required for a book embedding of a graph is the maximum of the numbers needed for any of the maximal nonseparable subgraphs and that a plane graph in which every triangle bounds a face has a two-page book embedding. The latter extends a theorem of H. Whitney and gives two-page book embeddings for $X$-trees and square grids.

研究の動機と目的

• 平面的グラフにおけるハミルトングループのホイットニーの定理を、すべての三角形が面を囲むようなより広いクラスのグラフへ拡張すること。
• 特に非分離部分グラフに注目して、ブロック分解を用いたグラフの本の厚さの特徴づけを行うこと。
• X-ツリーと正方形グリッドのような重要なグラフ族に対する二ページの本埋め込みを統一的に証明するフレームワークを提供すること。
• 平面性と本埋め込みの間の関係を位相的同型を用いて確立し、平面的グラフが本の厚さが2以下のグラフと同相であることを示すこと。

提案手法

• グラフのブロック分解を用い、本の厚さがすべてのブロック（最大非分離部分グラフ）における本の厚さの最大値に等しいことを示している。
• 本の厚さがグラフのブロックの本の厚さの最大値に等しいという補題を適用し、ブロックカットポイントツリーに沿った帰納的構成によって証明している。
• すべての三角形が面を囲むグラフを「きれいに平面的」と定義し、本埋め込みに適した構造的剛性を保証している。
• 分離三角形を避けるように慎重に頂点と辺を追加することで、きれいに平面的グラフの拡張版にハミルトングループを構成している。
• 部分ハミルトングループ（超グラフにハミルトングループを含むグラフ）は二ページの本埋め込みを許容することを用いている。
• 位相的グラフ理論を用いて、平面的グラフが本の厚さが2以下のグラフと同相であることを示し、偶数長のサイクルを保つために辺の分割を適用している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホイットニーの定理（平面的グラフにおけるハミルトングループ）を、すべての三角形が面を囲むグラフへ拡張できるか？
• RQ2 本の厚さとグラフのブロック分解との関係は何か？
• RQ3 X-ツリーと正方形グリッドは二ページの本埋め込みを許容するか。もしそうなら、その理由は何か？
• RQ4 すべての平面的グラフは、本の厚さが2以下のグラフと同相であるか？
• RQ5 グラフの本の厚さは、そのブロックの本の厚さの最大値のみによって決定できるか？

主な発見

• グラフの本の厚さは、そのブロックの本の厚さの最大値に等しく、ブロックカットポイントツリーに沿った帰納的構成によって証明された。
• すべての「きれいに平面的」なグラフ（すべての三角形が面を囲むグラフ）は二ページの本埋め込みを許容し、ホイットニーの定理を拡張している。
• X-ツリーと正方形グリッドは部分ハミルトングループであるため、二ページの本埋め込みを許容し、これまで直接計算で示された家族の一般化を提供している。
• 平面的グラフは本の厚さが2以下のグラフと同型であり、p個の頂点を持つグラフでは、スパイン交差数が最大p−2個で埋め込みを構成できる。
• 二部平面的グラフ（三角形を含まず、したがって「きれいに平面的」）は二ページの本埋め込みを許容する。
• この結果は、チャーランド、ゲラー、ヘデトニエミの予想（平面的グラフは2つの外部平面的グラフの辺素和である）が「きれいに平面的」グラフにおいて成り立つことを示唆している。