[論文レビュー] Bootstrapping Non-Invertible Symmetries

Ying‐Hsuan Lin, Shu-Heng Shao|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2023

Algebraic structures and combinatorial models被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、フィボナッチ、アイジング、および $ς(2)_{2}$ などの融合カテゴリを具体的な例として用い、有限の非可逆的対称性を持つ 1+1次元 conformal field theory (CFT) に対して数値的モジュラーブートストラップを適用して制約を求める。CFT を 2+1次元の Turaev-Viro TQFT $Η(χ)$ に「スラブ構成」によって結合することで、対称性保護型および対称性破れ型の領域における演算子次元に関する厳密で普遍的な境界を導出する。境界が存在する領域は自明な任意子領域および非自明な任意子領域の和集合であり、モジュラー S 行列および T 行列の固ベクトルに起因する特定の例外を除いて成立する。

ABSTRACT

Using the numerical modular bootstrap, we constrain the space of 1+1d CFTs with a finite non-invertible global symmetry described by a fusion category $\mathcal{C}$. We derive universal and rigorous upper bounds on the lightest $\mathcal{C}$-preserving scalar local operator for fusion categories such as the Ising and Fibonacci categories. These numerical bounds constrain the possible robust gapless phases protected by a non-invertible global symmetry, which commonly arise from microscopic lattice models such as the anyonic chains. We also derive bounds on the lightest $\mathcal{C}$-violating local operator. Our bootstrap equations naturally arise from a "slab construction", where the CFT is coupled to the 2+1d Turaev-Viro TQFT, also known as the Symmetry TFT.

研究の動機と目的

• 有限の非可逆的対称性によって保護される 1+1次元 CFT の普遍的性質を理解すること。
• 群を形成しない非可逆的グローバル対称性にモジュラー・ブートストラップ枠組みを拡張すること。
• 対称性保存および対称性破れ領域における演算子次元に関する、厳密でモデルに依存しない境界を導出すること。
• モジュラー S 行列および T 行列の構造に基づいて、ブートストラップ境界が存在するか、または存在しないかの条件を明確化すること。
• 従来の群的対称性を超えた量子場理論における自然性および安定性の概念を一般化すること。

提案手法

• 著者たちは、非可逆的対称性に関連するトポロジカルなライン演算子をねじれた分配関数を通じて組み込むことにより、1+1次元 CFT におけるモジュラー・ブートストラップを用いる。
• CFT を非可逆的対称性を記述する融合カテゴリ $χ$ を持つ 2+1次元 Turaev-Viro TQFT $Η(χ)$ に「スラブ構成」で結合する。
• 分配関数の $\mathrm{SL}(2,\mathbb{Z})$ におけるモジュラー共変性を要求し、モジュラー S 行列および T 行列を介してスペクトルに制約を課す。
• ブートストラップ境界の存在は、モジュラー S 行列および T 行列の同時固有空間で固有値が 1 であるものの分析により決定される。
• 各融合カテゴリ（フィボナッチ、アイジング、$ς(2)_{2}$）に対して、ドリンフェルド中心を計算し、非自明な非負の固有ベクトルが固有値 1 を持つ場合に、どの任意子領域に境界が存在するか、または存在しないかを同定する。
• 対称性保存領域（$\mathcal{V}_{\mathbf{1}}$）と対称性破れ領域（$\mu \neq \mathbf{1}$ の $\mathcal{V}_{\mu}$）を区別し、ギャップ境界の存在条件を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可逆的対称性を持つ 1+1次元 CFT のヒルベルト空間におけるギャップにモジュラー・ブートストラップ境界が存在する条件は何か？
• RQ2 特に、固有値が 1 である S 行列および T 行列の同時固有空間が、ブートストラップ境界の存在に与える影響は何か？
• RQ3 2+1次元 TQFT に結合するスラブ構成を用いることで、非可逆的対称性領域における演算子次元に関する制約を体系的に導出できるか？
• RQ4 なぜ特定の任意子領域（例：フィボナッチにおける $(W,\bar{W})$、アイジングにおける $(\eta,\bar{\eta})$）には境界が存在するのに対し、他の領域には存在しないのか。固有ベクトル構造はその役割を果たすか？
• RQ5 さまざまな非可逆的融合カテゴリにわたる境界存在の普遍的パターンは何か。また、そのパターンは任意子の量子次元および異常性とどのように関係するか？

主な発見

• 任意のユニタリモジュラーカテゴリ（UMTC）に対して、自明な任意子領域 $\mathcal{V}_{\mathbf{1}}$ にはモジュラー・ブートストラップ境界が保証的に存在する。これは、固有値 1 の非自明な非負固有ベクトルの最初の成分が 0 になり得ないためである。
• すべての非自明な任意子領域の和集合 $\bigcup_{\mu \neq \mathbf{1}} \mathcal{V}_{\mu}$ に対しても境界が期待される。なぜなら、S 行列が自明でない限り、$(1,0,\dots,0)$ が固有値 1 の固有ベクトルにはなり得ないからである。
• フィボナッチカテゴリでは、$(W,\bar{W})$ 領域に境界が存在する。これは、S および T の同時固有空間で固有値 1 のものが $(1,0,0,1)$ で張られるためであり、このベクトルは W-領域で 0 でない成分を持つ。
• アイジングおよび $\mathfrak{su}(2)_{2}$ カテゴリでは、$(\eta,\bar{\eta})$ または $({\mathcal{N}},\bar{\mathcal{N}})$ 領域に境界が期待される。これは、固有値 1 の固有空間が $(1,0,0,0,1,0,0,0,1)$ で張られ、これらの領域に非ゼロ成分を持つためである。
• 異常な $\mathbb{Z}_2$ ケース（ダブルセミオン模型）では、ねじれた領域 $\mathcal{H}_{\eta}$ には境界が存在しない。これは $\mathcal{V}_{(\eta,1)} \cup \mathcal{V}_{(1,\bar{\eta})}$ に対応し、非自明な固有値 1 の固有ベクトルが存在するためである。
• 境界の不在は、関連する領域で成分が 0 である非自明な固有値 1 の固有ベクトルの存在に起因し、これは対称性のトポロジカルな場理論実現における障害を示唆している。