[論文レビュー] Bootstrapping $O(N)$ Vector Models with Four Supercharges in $3 \leq d \leq4$

Shai M. Chester, Luca V. Iliesiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2015

Tensor decomposition and applications参考文献 22被引用数 18

ひとこと要約

この論文は、3≤d≤4次元における4つのスーパーチャージを有するO(N)ベクトル模型を、共形ブートストラップを用いて研究する。特に、チラル環において∑Z_i²が消えるという制約下でのO(N)基本的チラル演算子Z_iの4点関数に注目する。中央電荷に関するスーパーシンメトリー局在化の結果を組み込み、チラル環の関係を課すことにより、F最大化と局在化によって予測されたスケーリング次元と正確に一致する鋭い境界が数値ブートストラップによって特定された。特に、最低次の非保護的O(N)スカラーおよびチラルprimary次元Δ_Z_iについて顕著である。

ABSTRACT

We analyze the conformal bootstrap constraints in theories with four supercharges and a global $O(N) imes U(1)$ flavor symmetry in $3 \leq d \leq 4$ dimensions. In particular, we consider the 4-point function of $O(N)$-fundamental chiral operators $Z_i$ that have no chiral primary in the $O(N)$-singlet sector of their OPE. We find features in our numerical bounds that nearly coincide with the theory of $N+1$ chiral super-fields with superpotential $W = X \sum_{i=1}^N Z_i^2$, as well as general bounds on SCFTs where $\sum_{i=1}^N Z_i^2$ vanishes in the chiral ring.

研究の動機と目的

• 4つのスーパーチャージを有するO(N)ベクトル模型の低エネルギー固定点として現れる非自明なSCFTを同定すること。
• 交差対称性とユニタリティの制限の強さを、スーパーシンメトリー局在化から得られる正確なデータを組み込むことで、スーパーシンメトリーCFTにおいて検証すること。
• 演算子次元および中央電荷に関する数値ブートストラップの境界が、F最大化および4−ϵ展開からの正確な結果と一致するかを同定すること。
• 特に大N極限において、Nおよびdの関数としてのチラルprimary次元Δ_Z_iの振る舞いを調査すること。

提案手法

• 3≤d≤4次元におけるO(N)×U(1)グローバル対称性を有する4点関数⟨Z_i Z_j Z_k Z_l⟩に共形ブートストラップを適用する。
• チラル環の関係式∑Z_i² ∼ 0を課し、O(N)スカラー系のチラルprimaryを除外する。
• 特定のSCFTにおけるスーパーシンメトリー局在化の結果を用いて、中央電荷c_T、c_J^{O(N)}、c_J^{U(1)}を固定する。
• 導関数展開および極値関数法を用いて数値的境界を計算し、高精度の結果を得るためℓ_max=35およびΛ=27を用いる。
• OPEにおけるλ_{Z²}=0の仮定を導入し、チラル環関係と整合させる。
• 1/Nにおける線形補外を用いて、d=4における大N極限におけるチラルprimary次元Δ_Z_iの推定値を求める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 数値的共形ブートストラップは、チラル環に∑Z_i²=0を満たす4つのスーパーチャージを有するO(N)ベクトル模型におけるチラルprimary Z_iの正確なスケーリング次元を再現するか？
• RQ2 4−ϵ展開およびF最大化による予測と比較して、最低次の非保護的O(N)スカラー次元に対するブートストラップ境界はどのように振る舞うか？
• RQ3 特に大N極限において、Nおよびdの関数としてのチラルprimary次元Δ_Z_iの振る舞いはいかなるものか？
• RQ4 N < N_crit.(d)のとき、Δ_Z_iのブートストラップ境界に2つの非連結領域が現れる理由は何か？また、これらは3次元イジング模型およびXYZ模型における既知のキーンクとどのように関係するか？
• RQ5 特にg₂=0のとき、W = gX∑Z_i²の超ポテンシャルの低エネルギー固定点をブートストラップが正確に特定できるか？

主な発見

• F最大化およびスーパーシンメトリー局在化によって予測された値と正確に一致する鋭い境界が、最低次の非保護的O(N)スカラー次元に対する数値ブートストラップ境界として得られた。これはブートストラップが正確な結果と整合していることを確認する。
• N=1の場合、Δ_Z_iの許容領域は2つの非連結な区間に分裂し、それらの境界は、以前の3次元N=2 SCFT研究で観測された3つのキーンクと一致する：第一のキーンクはΔ_Z = (d−1)/3、第二はΔ_Z = d/4、第三はΔ_Z = 1.5である。
• d=4における第三のキーンク（Δ_Z ≈ 1.5）の位置はdに対して線形に変化し、d→4の極限で許容領域が連結化するが、キーンクはすべてのNに対して存続する。
• d=4において、1/Nにおけるキーンク位置の線形補外によりΔ_Z_i = 1.2 + 0.4/N + O(1/N²)が得られ、チラルprimary次元の大きなNにおける推定値が得られた。
• 中央電荷c_T、c_J^{O(N)}、c_J^{U(1)}に対する境界は自由理論を除外し、ユニタリティ境界を厳密に上回るΔ_Z_iの下限を与える。これはチラル環制約と整合的である。
• ブートストラップ結果はOPE係数λ_{Z²}の変動に対して頑健であり、次元d−2Δ_Z_iを有する演算子の含め方の変更も主な結果に影響しない。