[論文レビュー] Borcherds products and arithmetic intersection theory on Hilbert modular surfaces

Jan Hendrik Bruinier, José Ignacio Burgos Gil+1 more|ArXiv.org|Oct 14, 2003

Advanced Algebra and Geometry参考文献 27被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ヒルベルトモジュラー多様体上の算術的ヒルツェブルク＝ツァギエール定理の類似を構築することで、算術的ヒルツェブルク＝ツァギエール除集合を定義し、それらの生成関数が拡張された算術チャウ環において正則モジュラー形式（重さ2）であることを示した。主な結果として、モジュラー形式の線分束の算術自己交点数が、関連する実二次体のリーマン・ゼータ関数の s = -1 における対数微分に一致し、これにより特殊値のゼータ関数およびイーゼンスタイン級数と結びついた。

ABSTRACT

We prove an arithmetic version of a theorem of Hirzebruch and Zagier saying that Hirzebruch-Zagier divisors on a Hilbert modular surface are the coefficients of an elliptic modular form of weight two. Moreover, we determine the arithmetic self-intersection number of the line bundle of modular forms equipped with its Petersson metric on a regular model of a Hilbert modular surface, and study Faltings heights of arithmetic Hirzebruch-Zagier divisors.

研究の動機と目的

• ヒルベルトモジュラー多様体上の古典的ヒルツェブルク＝ツァギエール定理を算術的設定に拡張すること。
• 正則モデルにおけるモジュラー形式の線分束のペトゥルスキー計量を備えた算術的自己交点数を計算すること。
• 境界から離れた算術的ヒルツェブルク＝ツァギエール除集合のファルティングス高さを特定すること。
• 算術的交点数をリーマン・ゼータ関数およびイーゼンスタイン級数の特殊値と関連付けること。
• 前対数対数形式および拡張された算術チャウ環を用いて、非コンパクトシムーラ多様体における算術的交点論の枠組みを確立すること。

提案手法

• 著者たちは、境界除集合に沿った自動的線分束の特異計量を取り扱うために、前対数対数形式を備えた拡張された算術チャウ環を用いた。
• 幾何的および解析的データを統合した、この拡張された算術チャウ群における算術的ヒルツェブルク＝ツァギエール除集合のクラスとして定義した。
• これらの算術的除集合の生成関数が、ヒルツェブルクとツァギエールのコhomオロジー的結果に類似した、重さ2の正則モジュラー形式であることが示された。
• モジュラー形式の線分束の算術的自己交点数は、リーマン・ゼータ関数 ζ_K(s) の s = -1 における対数微分として計算された。
• グリーン関数のスターゲンプおよび積分技法を用いて、生成関数の積とモジュラー線分束の第一算術チャーン類の二乗との関係を、イーゼンスタイン級数 E(τ) の倍数に結びつけた。
• 高さペアリングは射影公式およびある算術的チャウ系列の完全性を用いて計算され、ファルティングス高さの明示的公式が得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ヒルベルトモジュラー多様体上のコホモロジー類に対して、ヒルツェブルク＝ツァギエール生成関数の算術的類似は何か？
• RQ2 境界における特異計量が存在する中で、モジュラー形式の線分束の算術的自己交点数はどのように計算できるか？
• RQ3 境界除集合から離れた算術的ヒルツェブルク＝ツァギエール除集合のファルティングス高さは何か？
• RQ4 算術的交点数は、リーマン・ゼータ関数およびイーゼンスタイン級数の特殊値とどのように関係しているか？
• RQ5 前対数対数形式を備えた拡張された算術チャウ環は、非コンパクトヒルベルトモジュラー多様体における交点論の一貫した枠組みを提供できるか？

主な発見

• 拡張された算術チャウ群における算術的ヒルツェブルク＝ツァギエール除集合の生成関数は、重さ2、レベルN、実二次体Kに関連するキャラクターを持つ正則モジュラー形式である。
• ペトゥルスキー計量を備えたモジュラー形式の線分束の算術的自己交点数は、k²/2 と、リーマン・ゼータ関数 ζ_K(s) の s = -1 における対数微分との積に、ゼータ関数およびL関数の組み合わせを乗じたものに等しい。
• 算術的生成関数とモジュラー線分束の第一算術チャーン類の二乗との積は、イーゼンスタイン級数 E(τ) の倍数に等しく、比例係数は算術的自己交点数そのものである。
• 境界から離れた非アーティキュレートヒルツェブルク＝ツァギエール除集合に対しては、そのファルティングス高さは、除集合の体積、ゼータ関数 ζ(s) の s = -1 における対数微分、およびねじれL関数 σ_m(s) の s = -1 における値を含む式で与えられる。
• これらの結果は、クラマー、クドラ、マイヨ＝ロエッセルらの深遠な予想に対する算術的証拠を提供しており、算術的体積とL関数の特殊値との関係を示している。
• この枠組みは、ヒルベルトモジュラー多様体のスタックの推測される算術的チャウ環と整合しており、算術的次数および高さペアリングが有限レベルモデルにおけるそれらと一致する。