[論文レビュー] Borel summability of Navier-Stokes equation in $\mathbb{R}^3$ and small time existence

Ovidiu Costin, S. Tanveer|ArXiv.org|Dec 2, 2006

Navier-Stokes equation solutions参考文献 11被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、フーリエ＝ボレル変換技法を用いて、$\mathbb{R}^3$ 上のナビエ＝ストークス方程式のボレル和分可能性を確立し、初期時刻 $t < \alpha^{-1}$ における古典的解の存在を示している。解は $t$ に関して解析的であり、ゲヴレィ-1漸近展開を持つ。この手法により偏微分方程式はボレル双対変数 $p$ における積分方程式に変換され、解の存在は $p \to \infty$ のときの $U(x,p)$ の成長の評価に帰着される。これにより、$\mathrm{Re}(1/t) > \alpha$ のとき $\|\hat{v}(\cdot;t)\|_{\mu+2,\beta} < \infty$ が得られる。主な貢献は、解析的初期データをもつ非線形偏微分方程式に対するボレル和分に基づく新たな存在枠組みの構築である。

ABSTRACT

We consider the Navier-Stokes initial value problem, $$v_t - abla v = -\mathcal{P} [ v \cdot abla v ight ] + f, v(x, 0) = v_0 (x), x \in \mathbb{R}^3 $$ where $\mathcal{P}$ is the Hodge-Projection to divergence free vector fields in the assumption that $ | f |_{μ, β} &lt; \infty $ and $| v_0 |_{μ+2, β} &lt; \infty$ for $β\ge 0, μ&gt; 3$, where $$ | {\hat f} (k) | = \sup_{k \in \mathbb{R}^3} e^{β|k|} (1+|k|)^μ| {\hat f} (k) |$$ and ${\hat{f}} (k) = \mathcal{F} [f (\cdot)] (k) $ is the Fourier transform in $x$. By Borel summation methods we show that there exists a classical solution in the form $$ v(x, t) = v_0 + \int_0^\infty e^{-p/t} U(x, p) dp $$ $t\in\CC$, $ \Re \frac{1}{t} &gt; α$, and we estimate $α$ in terms of $| {\hat v}_0 |_{μ+2, β}$ and $ | {\hat f} |_{μ, β}$. We show that $| {\hat v} (\cdot; t) |_{μ+2, β} &lt; \infty $. Existence and $t$-analyticity results are analogous to Sobolev spaces ones. An important feature of the present approach is that continuation of $v$ beyond $t=α^{-1}$ becomes a growth rate question of $U(\cdot, p)$ as $ p o \infty$, $U$ being is a known function. For now, our estimate is likely suboptimal. A second result is that we show Borel summability of $v$ for $v_0$ and $f$ analytic. In particular, we obtain Gevrey-1 asymptotics results: $ v \sim v_0 + \sum_{m=1}^\infty v_m t^m $, where $ |v_m | \le m! A_0 B_0^m$, with $A_0$ and $B_0$ are given in terms of to $v_0$ and $f$ and for small $t$, with $m(t)=\lfloor B_0^{-1}t^{-1} floor$, $$ | v(x, t) - v_0 (x) - \sum_{m=1}^{m(t)} v_m (x) t^m | \le A_0 m(t)^{1/2} e^{-m(t)} $$

研究の動機と目的

• 時間ボレル変換を用いて、$\mathbb{R}^3$ 上のナビエ＝ストークス方程式のボレル和分可能性枠組みを構築すること。
• 偏微分方程式をボレル双対変数 $p$ における積分方程式に変換することで、小時間における古典的解の存在を確立すること。
• 解析的初期データおよび外力のもとで、解が右半平面で $t$ に関して解析的であり、ゲヴレィ-1漸近展開を持つことを示すこと。
• 解の存在問題を、ボレル変換された解 $U(x,p)$ の $p$ が大きいときの成長の評価に帰着させること。
• 初期データおよび外力の重み付きフーリエノルム $\|\hat{v}_0\|_{\mu+2,\beta}$ および $\|\hat{f}\|_{\mu,\beta}$ を用いて、$t$ における解析的領域の半径の定量的評価を提供すること。ただし $\mu > 3$, $\beta \geq 0$。

提案手法

• ナビエ＝ストークス方程式にボレル変換を適用し、時間微分を双対変数 $p$ における積分方程式に変換する。ここで $t^{-1}$ は $p$ に置き換えられる。
• フーリエ変換を用いて方程式を周波数領域で表現し、ノルム $\|\hat{v}_0\|_{\mu+2,\beta}$ および $\|\hat{f}\|_{\mu,\beta}$ が減衰および解析的性質を制御する。
• ボレル変換された解を $v(x,t) = v_0(x) + \int_0^\infty e^{-p/t} U(x,p) \, dp$ と定式化し、$U(x,p)$ が $p$ における非線形積分方程式を満たすようにする。
• ある $\alpha > 0$ に対して、指数的重み付き $L^1$ 空間 $L^1(dp\,e^{-\alpha p})$ における $U(x,p)$ の存在を証明し、ボレル積分の収束を保証する。
• 重み付き $L^1$ 評価および $Q_n(z)$ 関数を含む畳み込み評価を用いて、フーリエ領域における非線形項 $v \cdot \nabla v$ を制御する。
• 補題6.7～6.10を用いて減衰評価を確立し、$e^{-\beta(|k'| + |k-k'|)}$ および $|k'|$, $|k-k'|$ のべき乗を含む積分を評価することで、周波数領域における非線形相互作用を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の解析的初期データおよび外力を持つ3次元ナビエ＝ストークス方程式に対して、ボレル和分可能性技法を用いて小時間存在性を示すことができるか？
• RQ2 ボレル変換定式化により、解の存在問題が変換された解 $U(x,p)$ の $p$ が大きいときの漸近解析に帰着されるか？
• RQ3 初期データおよび外力が重み付きフーリエノルムで与えられるとき、ナビエ＝ストークス方程式の解の最適な解析的領域の半径は何か？また、その依存関係は？
• RQ4 初期データ $v_0$ および外力 $f$ が解析的であるとき、$t$ におけるナビエ＝ストークス方程式の形式的べき級数解が、ゲヴレィ-1漸近展開であることを示せるか？
• RQ5 $\|\hat{v}(\cdot;t)\|_{\mu+2,\beta}$ の時間的挙動は何か？また、$t < \alpha^{-1}$ の範囲で一様に有界であるか？

主な発見

• 解は $t \in \mathbb{C}$ に対して $\mathrm{Re}(1/t) > \alpha$ の範囲で存在する。ここで $\alpha$ は $\|\hat{v}_0\|_{\mu+2,\beta}$ および $\|\hat{f}\|_{\mu,\beta}$ の関数として評価され、$\mu > 3$, $\beta \geq 0$ を満たす。
• 解析的初期データおよび外力（$\beta > 0$）のもとで、解は $\|\hat{v}(\cdot;t)\|_{\mu+2,\beta} < \infty$ を満たし、フーリエ領域で一様な制御が保証される。
• 解析的 $v_0$ および $f$（つまり $\beta > 0$）の下で、解はゲヴレィ-1漸近展開を持つ：$v \sim v_0 + \sum_{m=1}^\infty v_m t^m$。ここで $|v_m| \leq m! A_0 B_0^m$ を満たす定数 $A_0, B_0$ が $v_0$ および $f$ に依存する。
• 剰余項の評価は $\left|v(x,t) - v_0(x) - \sum_{m=1}^{m(t)} v_m(x) t^m\right| \leq A_0 \, m(t)^{1/2} \, e^{-m(t)}$ であり、$m(t) = \lfloor B_0^{-1} t^{-1} \rfloor$ である。これにより、誤差が指数的に小さくなることが示される。
• $t = \alpha^{-1}$ を超える解の継続可能性は、$p \to \infty$ のときの $U(x,p)$ の成長の分析に帰着され、大 $p$ 漸近解析問題となる。
• 本手法は、ソボレフ空間の結果に類似した枠組みを提供するが、重み付きフーリエノルム空間においてであり、ボレル変換は非線形偏微分方程式の正則化道具として機能する。