[论文解读] Boson-Fermion correspondence, QQ-relations and Wronskian solutions of the T-system

Zengo Tsuboi|arXiv (Cornell University)|Jun 16, 2021

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 87被引用 6

一句话总结

本文为量子仿射超代数 $ U_q({ m so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 T-系统提供了一个严格的 Wronskian 解的证明，该解通过从 twisted 量子仿射超代数 $ U_q({ m gl}(2r|1)^{(2)}) $ 的 Wronskian 解经折叠约化导出。关键贡献在于精确建立了该 Wronskian 解与 Cherednik-Bazhanov-Reshetikhin（CBR）行列式解之间的联系，同时引入了针对非矩形 Young 图的 Wronskian 型 T-函数表达式，并将旋量表示的 T-函数与该超代数的渐近典型表示的约化联系起来。

ABSTRACT

It is known that there is a correspondence between representations of superalgebras and ordinary (non-graded) algebras. Keeping in mind this type of correspondence between the twisted quantum affine superalgebra $U_{q}(gl(2r|1)^{(2)})$ and the non-twisted quantum affine algebra $U_{q}(so(2r+1)^{(1)})$, we proposed, in the previous paper [arXiv:1109.5524], a Wronskian solution of the T-system for $U_{q}(so(2r+1)^{(1)})$ as a reduction (folding) of the Wronskian solution for the non-twisted quantum affine superalgebra $U_{q}(gl(2r|1)^{(1)})$. In this paper, we elaborate on this solution, and give a proof missing in [arXiv:1109.5524]. In particular, we explain its connection to the Cherednik-Bazhanov-Reshetikhin (quantum Jacobi-Trudi) type determinant solution known in [arXiv:hep-th/9506167]. We also propose Wronskian-type expressions of T-functions (eigenvalues of transfer matrices) labeled by non-rectangular Young diagrams, which are quantum affine algebra analogues of the Weyl character formula for $so(2r+1)$. We show that T-functions for spinorial representations of $U_{q}(so(2r+1)^{(1)})$ are related to reductions of T-functions for asymptotic typical representations of $U_{q}(gl(2r|1)^{(1)})$.

研究动机与目标

• 为 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 T-系统提供一个完整的 Wronskian 解的证明，该解此前虽被提出但缺乏完整推导。
• 澄清 Wronskian 解与已知的 Cherednik-Bazhanov-Reshetikhin（CBR）行列式解之间在 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 上的精确数学关系。
• 将 Wronskian 框架扩展至由非矩形 Young 图标记的 T-函数，推广 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 Weyl 特征标公式。
• 证明 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的旋量表示的 T-函数是 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 的渐近典型表示的 T-函数经 B"acklund 变换约化所得。
• 形式化玻色子-费米子对应在 T-系统解背景下，将超代数表示与普通代数表示关联的作用。

提出的方法

• 通过将非扭的量子仿射超代数 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 的 Wronskian 解进行折叠，得到 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的解，该代数为非扭的量子仿射代数。
• 该方法依赖于双索引的 Q-函数 $ Q_{\{b,f\}} $，其中包含玻色子索引 $ b \in \{1,\dots,2r\} $ 和费米子索引 $ f \in \{2r+1\} $，以处理超代数结构。
• 使用费米子 QQ-关系来关联三种类型的 Q-函数，将标准 QQ-关系推广至超代数设定。
• 使用 Wronskian 行列式通过 Cramer 法则对 Baxt er 方程的解应用，表达任意表示的 T-函数，包括非矩形 Young 图。
• 约化过程将 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 的 T-函数映射至 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 T-函数，其中旋量表示对应于 B"acklund 变换下的一级降低约化。
• 通过将 Wronskian 表达式与文献 [2] 中的行列式公式比较，确立了与 CBR 类型解的联系，证明在谱参数平移和参数重定义下二者等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从已知的 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 的解严格推导出 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 T-系统 Wronskian 解？
• RQ2 Wronskian 解与 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 Cherednik-Bazhanov-Reshetikhin（CBR）行列式解之间存在何种精确的数学关系？
• RQ3 在 Wronskian 框架中，如何表达由非矩形 Young 图标记的 T-函数？它们在经典极限下如何约化为 Weyl 特征标公式？
• RQ4 为何 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的旋量表示的 T-函数对应于 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 的渐近典型表示的 T-函数的约化？B"acklund 变换在此过程中起什么作用？
• RQ5 玻色子-费米子对应在 T-系统解的背景下如何体现，特别是在将超代数表示折叠为普通代数表示时？

主要发现

• 通过证明 QQ-关系和 T-系统函数关系在从 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 到 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的折叠约化下保持不变，严格证明了 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 Wronskian 解。
• 通过谱参数的重参数化与 Q-函数标记的平移，证明了 $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的 Wronskian 解与文献 [2] 中的 CBR 类型行列式解等价。
• 由非矩形 Young 图标记的 T-函数以包含相同基本 Q-函数的 Wronskian 行列式表达，将 Weyl 特征标公式推广至非对称表示。
• $ U_q({\rm so}(2r+1)^{(1)}) $ 的旋量表示的 T-函数被证明与 $ U_q({\rm gl}(2r|1)^{(1)}) $ 的渐近典型表示的 T-函数的约化成正比，其中约化对应于 B"acklund 变换下的一个层级降低。
• 在与 [2] 的比较中，确认了两种不同参数化方式的等价性：平移谱参数或在 QQ-关系中将 $ z_j \to z_j^{-1} $，在约定下可得等价结果。