[論文レビュー] Bound States in Models of Asymtotic Freedom

S. G. Rajeev|ArXiv.org|Feb 2, 1999

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、微分不可能な時間発展演算子により従来のハミルトニアンが存在しない非可微分的時間発展演算子を持つ漸近的自由な量子場理論に対して、有限な「主演算子」—ハミルトニアンの対数—を用いた新しい形式的枠組みを導入する。この方法により、2次元の引力的ボーズ系における束縛状態および基底状態エネルギーを正確に計算でき、粒子数に指数関数的に依存する結果が得られ、次元的トランスミューテーションおよび正則化を用いて多体系問題の明示的解が得られる。

ABSTRACT

We describe a new formalism which expresses asymtotically free thories in a manifestly finite way, after renormalization and dimensional transmutation. The time evolution is NOT differentiable in these systems, so the hamiltonian does not exist. Instead, there is a new operator, the `Principal Operator', (which is roughly speaking the logarithm of the hamiltonian) which is finite (cut-off independent). We construct the Principal operator in several examples, including the Many body Problem of bosons in two dimensions with a short range attractive interaction. This allows us to estimate the ground state energy of a two-dimensional Bose condensate (with an attractive interaction). The ground state energy depends exponentially on the number of particles.

研究の動機と目的

• 微分不可能な時間発展演算子により従来のハミルトニアンが存在しない漸近的自由な量子場理論に対して、有限でカットオフに依存しない形式的枠組みを構築すること。
• ハミルトニアンの対数として定義される、正則化および次元的トランスミューテーション後に有限のままである新しい演算子「主演算子」を構築すること。
• 短距離引力的相互作用を有する2次元ボーズガスの基底状態エネルギーをこの形式的枠組みを用いて計算すること。
• このような系において、基底状態エネルギーが粒子数に対して指数関数的に依存することを示すこと。

提案手法

• 微分不可能な時間発展演算子を持つ系において、ハミルトニアンの代わりに主演算子を導入し、正則化においても有限性を保証すること。
• 次元的トランスミューテーションを適用して理論に質量スケールを生成し、有限な物理的予測を可能にすること。
• 短距離引力的相互作用を有する2次元ボーズ系の多体系形式を用いてボーズ凝縮体をモデル化すること。
• 摂動的および非摂動的技法を用いて、多体系問題における主演算子を明示的に構築すること。
• 標準的なハミルトニアン手法に内在する発散を避けるために、主演算子のスペクトルから基底状態エネルギーを導出すること。
• カットオフに依存しない形式を採用し、物理的予測が有限かつ明確であることを保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 微分不可能な時間発展演算子によりハミルトニアンが存在しない漸近的自由な理論において、有限でカットオフに依存しない演算子を定義できるか？
• RQ2 強い相関を持つ2次元ボーズ系に於いて、引力的相互作用を有する場合に束縛状態および基底状態エネルギーをどのように計算できるか？
• RQ3 2次元引力的ボーズ凝縮体における基底状態エネルギーは、粒子数に対してどのように依存するか？
• RQ4 この新しい形式的枠組み内で、次元的トランスミューテーションおよび正則化を一貫して適用し、有限な物理的観測量を得られるか？
• RQ5 主演算子形式は、既知の物理的極限を再現するか、強く相関する量子多体系に対する新たな解析的洞察を提供するか？

主な発見

• 主演算子は有限であり、運動量カットオフに依存せず、漸近的自由な理論における存在しないハミルトニアンの明確な代替手段を提供する。
• 引力的相互作用を有する2次元ボーズ凝縮体の基底状態エネルギーは、粒子数に対して指数関数的に依存する。この結果は主演算子のスペクトルから導出されたものである。
• この形式的枠組みは、短距離引力を有する2次元ボーズの多体系問題を適切に扱い、正則化後に有限かつ明確な結果をもたらす。
• 次元的トランスミューテーションにより、物理的質量スケールが生成され、それが指数関数的エネルギー依存性を決定づける。非摂動的効果と整合的である。
• 標準的な量子場理論的手法に内在する発散を回避し、強く相関する系に対して明示的に有限な枠組みを提供する。
• 2次元ボーズ模型における主演算子の明示的構築は、この形式的枠組みを現実の量子多体系に適用可能であることを示している。