[論文レビュー] Bound states of the Klein-Gordon equation in D-dimensions with some physical scalar and vector exponential-type potentials including orbital centrifugal term

Sameer M. Ikhdair|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2011

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 5被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、Nikiforov-Uvarov法を用いて、スカラおよびベクトル型の指数関数的ポテンシャル（中心力項を含む）を有するD次元のクライン=ゴルドン方程式に対する近似解析的解を提示する。相対論的エネルギー準位および径方向波動関数は、任意の角運動量量子数および次元に対して、ジャコビ多項式および一般化超幾何関数を用いて導出され、エイカート、ローゼン=モーズェ、フールトーン、ウッドズ=サクソンポテンシャルの既知の結果を正確に回復する。

ABSTRACT

The approximate analytic bound state solutions of the Klein-Gordon equation with equal scalar and vector exponential-type potentials including the centrifugal potential term are obtained for any arbitrary orbital angular momentum number l and dimensional space D. The relativistic/non-relativistic energy spectrum equation and the corresponding unnormalized radial wave functions, in terms of the Jacobi polynomials P_{n}^{(α,β)}(z), where α>-1, β>-1 and z\in[-1,+1] or the generalized hypergeometric functions _{2}F_{1}(a,b;c;z), are found. The Nikiforov-Uvarov (NU) method is used in the solution. The solutions of the Eckart, Rosen-Morse, Hulthén and Woods-Saxon potential models can be easily obtained from these solutions. Our results are identical with those ones appearing in the literature. Finally, under the PT-symmetry, we can easily obtain the bound state solutions of the trigonometric Rosen-Morse potential.

研究の動機と目的

• D次元空間におけるスカラおよびベクトル型の指数関数的ポテンシャルを有するクライン=ゴルドン方程式の相対論的束縁状態解を導出すること。
• 任意の軌道的角運動量量子数lに対して中心力項を含めること。
• 複雑なポテンシャル形を有するD次元相対論的系にまでNikiforov-Uvarov法の適用範囲を拡張すること。
• エイカート、ローゼン=モーズェ、フールトーン、ウッドズ=サクソンポテンシャルといった既知のポテンシャルモデルを一般解の特別な場合として回復すること。
• 同一の形式を用いて三角関数的ローゼン=モーズェポテンシャルのPT対称解を探索すること。

提案手法

• D次元における径方向クライン=ゴルドン方程式を解くためにNikiforov-Uvarov（NU）法を用いる。
• 任意のl状態における中心力項を扱うために、標準的なGreene-Aldrich近似スキームを適用する。
• パラメータα > -1、β > -1を有するジャコビ多項式P(α,β)n(z)を用いてエネルギー準位および径方向波動関数を表現する。
• より広い数学的整合性を確保するため、一般化超幾何関数2F1(a, b; c; z)を用いて解を表現する。
• 一般ポテンシャルモデルを用いて、適切なパラメータを設定することで、具体的な物理的ポテンシャルを回復する。
• 形式をPT対称系へ拡張し、三角関数的ローゼン=モーズェポテンシャルに対する解を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 D次元クライン=ゴルドン方程式にスカラおよびベクトル型の指数関数的ポテンシャルを有する場合、任意のlおよびDに対して解析的にどのように解けるか？
• RQ2 中心力項を含む場合、相対論的エネルギー準位および径方向波動関数の形はどのようなものか？
• RQ3 エイカート、ローゼン=モーズェ、フールトーン、ウッドズ=サクソンポテンシャルの解は、一般解の特別な場合として正確に回復可能か？
• RQ4 PT対称性フレームワークは、三角関数的ローゼン=モーズェポテンシャルにおける束縁状態の導出をどのように可能にするか？
• RQ5 Greene-Aldrich近似は、s波でない状態に対する解析的解の実現をどのように可能にするか？

主な発見

• エネルギー準位および径方向波動関数は、ジャコビ多項式および一般化超幾何関数を用いて閉形式で導出された。
• 一般ポテンシャルモデルにおいて適切なパラメータを設定することで、エイカート、ローゼン=モーズェ、フールトーン、ウッドズ=サクソンポテンシャルの解が正確に回復された。
• s波（l=0）のローゼン=モーズェ型ポテンシャルに対する束縁状態エネルギー準位は数値的に検証され、既存の文献結果と一致した。
• この方法はPT対称系へも成功裏に拡張され、三角関数的ローゼン=モーズェポテンシャルに対する束縁状態解が得られた。
• 結果は既存の文献と整合しており、近似スキームおよびNU法がD次元相対論的量子系において有効であることを確認した。
• この形式は、異なる次元および角運動量状態における多様な指数関数的ポテンシャルを有する相対論的束縁状態を統一的に解くためのフレームワークを提供する。