[論文レビュー] Boundary conditions in charge conjugate sl(N) WZW theories

V. B. Petkova, Jean-Bernard Zuber|ArXiv.org|Jan 29, 2002

Superconducting Materials and Applications参考文献 4被引用数 17

ひとこと要約

この論文は、charge conjugate $ω{sl}(N)$ Wess-Zumino-Witten (WZW) 理論における境界条件を、融合代数の非負整数行列表現（nim-reps）を計算することによって決定する。これにより、$sl(N)$表現を $B_l = so(2l+1)$ もしくは $C_l = sp(2l)$ 表現に分解する古典的問題と境界条件データとの間の関係を確立する。また、アフィン $B$ および $C$ 代数のモジュラーデータを用いて nim-reps 及びその対角化行列を表現する。

ABSTRACT

We compute the representations (``nimreps'') of the fusion algebra of affine sl(N), which determine the boundary conditions of sl(N) WZW theories twisted by the charge conjugation. This is done following two procedures, one of general validity, the other specific to the problem at hand. The problem is related to the classical problem of decomposition of the fundamental representations of sl(N) onto representations of $B_l=so(2l+1)$ or $C_l =sp(2l)$ algebras. The relevant nimreps and their diagonalisation matrix are thus expressed in terms of modular data of the affine B or C algebras

研究の動機と目的

• charge conjugation によってねじれた $\u03c9{sl}(N)$ WZW 理論の融合代数に対する非負整数行列表現（nim-reps）を決定すること。
• 境界条件データと、$sl(N)$ 表現を $B_l = so(2l+1)$ もしくは $C_l = sp(2l)$ 代数の表現に分解する古典的問題との間の関係を特定すること。
• nim-reps 及びその対角化行列を、アフィン $B$ および $C$ 代数のモジュラーデータに基づいて表現すること。
• $N=3$ および $N=4$ の場合に既に得られている結果を、任意の $N$ に一般化すること。
• 著者らの知る限り、$C_l^{(1)}$ アフィン代数のモジュラー行列に関する新しい関係を導出すること。

提案手法

• Cardy の整合性条件に基づく一般的手順を用い、$n_\lambda n_\mu = \sum_\nu N_{\lambda\mu}^\nu n_\nu$ を満たす行列 $n_\lambda$ として nim-reps を計算する。ここで $N_{\lambda\mu}^\nu$ は $ω{sl}(N)$ の融合規則である。
• 第二の、問題に特化した手法を適用し、Weyl アルコーブ内での指数 $μ = μ^*$ の実数性を活用して、対称的な nim-rep 行列を得る。
• 行列 $n_\lambda$ の固有値を $\chi_\lambda(\mu) = S_{\lambda\mu}/S_{\rho\mu}$ として定義する。ここで $S$ は $ω{sl}(N)$ のモジュラー $S$-行列である。
• 指数の集合 $\mathrm{Exp}^{(h)}$ を、Weyl アルコーブ内の実数的重みとして特定し、$N$ が奇数か偶数かによって異なる構造を持つ。
• 正規直交固有ベクトル $\psi$ の基底を用いて nim-reps を対角化し、三角行列系 $n_{\lambda 1}^a = \delta_{a a_\lambda} + \sum_{\mu \prec \lambda} b_{\lambda\mu} \delta_{a a_\mu}$ を用いて再帰的に行列を再構成する。
• アルゴリズムを Mathematica に実装し、グラフ代数が可換であり、頂点 $a \in \mathcal{V}$ に関連する隣接行列 $\hat{N}_a$ によって生成されることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 融合代数表現を用いて、charge conjugate $ω{sl}(N)$ WZW 理論における境界条件を体系的にどのように特定できるか？
• RQ2 $sl(N)$ 表現を $B_l$ もしくは $C_l$ 表現に分解する問題と、境界条件の構造との間の代数的関係は何か？
• RQ3 アフィン $B_l$ および $C_l$ 代数のモジュラーデータが、charge conjugate $ω{sl}(N)$ 理論の nim-reps をどのように記述するか？
• RQ4 nim-rep 行列が対称であるための条件は何か？ また、これと $N$-位相および指数の実数性とはどのように関係するか？
• RQ5 正規直交固有ベクトルおよび頂点寄与に基づく再帰的アルゴリズムは、最小限のデータから全 nim-rep 構造を再構成できるか？

主な発見

• charge conjugate $ω{sl}(N)$ WZW 理論の nim-rep 行列は、指数の実数性 $μ = μ^*$ により対称的である。これは $χ_\lambda(\mu) = χ_{\lambda^*}(\mu)$ を意味する。
• 奇数 $N = 2l+1$ および偶数レベル $h$ の場合、Weyl アルコーブ内のすべての $\lambda$ に対して $n_{\lambda 1}^1 = 1$ である。
• 奇数 $N = 2l+1$ および奇数 $h$ の場合、$n_{\lambda 1}^1 = 1$ であることは、$\lambda$ のすべての Dynkin ラベル $\lambda_i$ が奇数であることと同値である。
• 偶数 $N = 2l$ の場合、$n_{\lambda 1}^1 = 1$ であることは、$\lambda$ の奇数番目の Dynkin インデックスが 1 に等しいこと、すなわち $\lambda = (1, \lambda_2, 1, \lambda_4, \dots, \lambda_{2l-2}, 1)$ であることと同値である。
• 正規直交固有ベクトルおよび頂点寄与に基づく再帰的手順により、アルゴリズムは Mathematica に実装されており、全 nim-rep 行列を効果的に再構成できた。
• $C_l^{(1)}$ 代数のモジュラー $S$-行列要素は、偶数 $N$ の場合、nim-reps のユニタリ固有ベクトル行列と一致し、これにより $A^{(2)}_{2l-1}$ および $D^{(2)}_{l+1}$ のねじれたアフィン代数の $S$-行列と関連づけられる。