[論文レビュー] Boundary Element Analysis with trimmed NURBS and a generalized IGA approach

Gernot Beer, Benjamin Marussig+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2014

Numerical methods in engineering参考文献 5被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、トリムドNURBSパッチと二重マッピング手法を用いた新しい境界要素法（BEM）を提案する。幾何形状の記述と未知数の近似を分離することで、従来の等パrametric BEMに比べて1桁分少ない自由度で、高連続性かつ高精度な解を得ることができ、メッシュ生成を伴わず、CADデータを直接利用できる。

ABSTRACT

A novel approach to the simulation with the boundary element method using trimmed NURBS patches is presented. The advantage of this approach is its efficiency and easy implementation. The analysis with trimmed NURBS is achieved by double mapping. The variation of the unknowns on the boundary is specified in a local coordinate system and is completely independent of the description of the geometry. The method is tested on a branched tunnel and the results compared with those obtained from a conventional analysis. The conclusion is that the proposed approach is superior in terms of number of unknowns and effort required.

研究の動機と目的

• トリムドNURBS表面における境界要素解析のための、より効率的かつ実装が簡単な手法の開発。
• 複雑なCAD幾何形状（交差やトリムドパッチを含む）を扱う際の、従来のBEMおよび等パラメトリック解析の限界を克服すること。
• 未知数（変位、応力など）の近似と幾何形状記述を分離し、未知数の独立したメッシュ・リファインメントを可能にすること。
• 提案手法が、自由度を著しく削減しながらも、従来のBEMと同等またはそれ以上の精度を達成することを示すこと。
• メッシュ生成や幾何形状再構築を伴わず、CADデータ（例：IGES形式）をシミュレーションに直接利用可能にすること。

提案手法

• 二重マッピング戦略を採用：表面をグローバル座標系(u,v)から局所座標系(u̅,v̅)の単位正方形にマッピングし、基底関数を定義する。
• 未知数（変位、応力など）の変動を、幾何形状のNURBS基底関数とは独立して、局所座標系(u̅,v̅)で定義する。
• 有理Bスプラインと knot ベクトル、重みを用いたNURBS基底関数を幾何形状マッピングに使用し、滑らかで高連続性の高い表現を実現する。
• 等パラメトリック解析（IGA）の原則を応用するが、幾何形状とは異なる近似空間を未知数に使用できるように一般化する。
• 幾何形状を固定したまま、未知数の近似を適応的リファインメント（例：p-リファインメントをp=q=4に）可能にし、NURBSリファインメント戦略を活用する。
• 特異点付近の積分領域に対して、四分木ベースの分割を用い、近接領域積分の精度を向上させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 既存手法と比較して、二重マッピング手法がトリムドNURBS表面における境界要素解析の簡素化と効率化を図れるか？
• RQ2 未知数の近似を幾何形状記述から分離することで、BEMシミュレーションにおける精度向上と自由度削減が達成できるか？
• RQ3 CAD由来のトリムドNURBSモデルを、メッシュ生成や幾何形状再構築を伴わず、BEMに直接利用できるか？
• RQ4 一般化されたIGA-BEMの精度および収束特性は、セレンディピティ要素を用いた従来の等パラメトリックBEMと比較してどうなるか？
• RQ5 未知数に独立した近似空間を用いる場合、p-リファインメントが解の品質に与える影響はいかほどか？

主な発見

• 提案手法は、二次要素を用いた従来の等パラメトリックBEM（2895 DOFs 対 291 DOFs）と比較して、自由度を約1桁分削減した。
• 新しい手法（p=q=4）による解は、従来のBEMと非常に良好な一致を示し、はるかに少ない未知数で同じ結果に収束した。
• 高連続性を持つNURBS基底関数を未知数の近似に用いることで、低連続性のラグランジュまたはセレンディピティ要素と比較して、滑らかでより高精度な解が得られた。
• 二重マッピング技術により、トリミング曲線を含むIGESファイルなどのCADデータを、複雑な knot 再パrameterization や表面再構築を伴わず直接利用可能となった。
• 幾何形状と未知数近似を分離した一般化IGAアプローチにより、幾何形状を変更せずに未知数の効率的p-リファインメントが可能となり、解の精度を独立に向上させられた。
• 本手法はメッシュ生成を完全に回避し、CADからシミュレーションへのワークフローを簡素化した。特に、交差する表面を持つ分岐トンネルのような複雑な幾何形状に対し、顕著な有効性を示した。