[論文レビュー] Boundary Estimates in Elliptic Homogenization

Zhongwei Shen|arXiv (Cornell University)|May 4, 2015

Advanced Mathematical Modeling in Engineering被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、急速に周期的変動する係数を有する線形弾性の楕円型系に対して、$H^1$および$L^q$空間における収束速度の見積もりを用いて、微細スケール$\varepsilon$まで及ぶ鋭い境界推定を確立する。リーマン多様体上で係数の滑らかさ仮定なしに、Lipschitz領域における$L^q(\Omega)$で$O(\varepsilon)$の一様誤差境界を達成し、追加の Hölder 継続性の下で、全 Rellich 型推定および$C^{1,\alpha}$領域における Lipschitz 正則性をもたらす。

ABSTRACT

For a family of systems of linear elasticity with rapidly oscillating periodic coefficients, we establish sharp boundary estimates with either Dirichlet or Neumann conditions, uniform down to the microscopic scale, without smoothness assumptions on the coefficients. Under additional smoothness conditions, these estimates, combined with the corresponding local estimates, lead to the full Rellich type estimates in Lipschitz domains and Lipschitz estimates in $C^{1, α}$ domains. The $C^α$, $W^{1,p}$, and $L^p$ estimates in $C^1$ domains for systems with VMO coefficients are also studied. The approach is based on certain estimates on convergence rates. As a bi-product, we obtain sharp $O(\varepsilon)$ error estimates in $L^q(Ω)$ for $q=\frac{2d}{d-1}$ and a Lipschitz domain $Ω$, with no smoothness assumption on the coefficients.

研究の動機と目的

• 急速に周期的変動する係数を有する線形弾性の楕円型系に対して、微細スケール$\varepsilon$まで有効な一様境界推定を確立すること。
• 係数行列の滑らかさを要件としないLipschitz領域における$L^q(\Omega)$で$q = \frac{2d}{d-1}$の鋭い$O(\varepsilon)$収束速度を導出すること。
• 係数の Hölder 継続性の下で、Lipschitz領域における全 Rellich 型推定および$C^{1,\alpha}$領域における Lipschitz 正則性への推定の拡張すること。
• VMO係数を有する系について、$C^1$領域における$C^\alpha$、$W^{1,p}$および$L^p$推定を提供すること。

提案手法

• コンパクトネス法を用いない、ホモゲナイズド系の解に対する$H^1$および$L^q$収束速度見積もりに基づくアプローチ。
• 主要な見積もりは、吹き出し法と二重円環における減衰見積もりを用い、$L^q$収束に適した修正された John-Nirenberg 型不等式を用いる。
• 係数$A(y)$の滑らかさ仮定なしに成立する、$q = \frac{2d}{d-1}$における新たな$L^q$収束速度見積もりを用いる。この見積もりは鋭く、滑らかさ仮定なしに成立する。
• 誤差が$\varepsilon/r$で制御される$H^1(D_r; \mathbb{R}^d)$内に$u_\varepsilon$を近似する関数$w$を構成する、重要なステップ。
• スケーリング不変減衰見積もりを用いる：$J(\theta r) \leq \frac{1}{2}J(r) + C(\varepsilon/r)^{1/2}\Psi(2r)$、ここで$J(r)$は振動を測る量、$\Psi(r)$はデータノルムを制御する。
• 局所正則性見積もりとグローバル境界見積もりを組み合わせることで、$C^{1,\alpha}$領域における完全な$C^{1,\alpha}$ Lipschitz境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らかさ仮定なしに、急速に周期的変動する係数を有する楕円型系に対して、$\varepsilon$スケールまで一様に鋭い境界推定を確立できるか？
• RQ2 係数の滑らかさを要件としない場合に、$L^q(\Omega)$における解の最適収束速度は何か？ そして、その速度は達成可能か？
• RQ3 Lipschitz領域における境界推定は、全 Rellich 型推定および$C^{1,\alpha}$正則性とどのように関係するか？
• RQ4 VMO係数を有する系について、$C^1$領域における$C^\alpha$、$W^{1,p}$および$L^p$推定を拡張できるか？

主な発見

• この論文は、Lipschitz領域において、係数行列$A(y)$の滑らかさ仮定なしに、$L^q(\Omega)$で$q = \frac{2d}{d-1}$の鋭い$O(\varepsilon)$収束を確立する。
• Lipschitz領域におけるディリクレ問題およびノイマン問題に対して、スケーリング不変境界推定を証明する：$p = \frac{2d}{d+1}$に対して、$\left(\frac{1}{r}\int_{\Omega_r}|\nabla u_\varepsilon|^2\right)^{1/2} \leq C\left(\|F\|_{L^p} + \|f\|_{H^1(\partial\Omega)}\right)$。
• 係数$A$の Hölder 継続性の下で、$B(0,1/2)$において$\nabla u_\varepsilon$の一様$L^\infty$境界を得る。$p > d$に対して、$\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^\infty(B(0,1/2))} \leq C_p\left(\|u_\varepsilon\|_{L^2(B(0,1))} + \|F\|_{L^p(B(0,1))}\right)$。
• $C^{1,\alpha}$領域では、$\|\nabla u_\varepsilon\|_{L^\infty(D_{1/2})} \leq C\left(\|u_\varepsilon\|_{L^2(D_1)} + \|F\|_{L^p(D_1)} + \|f\|_{C^{1,\sigma}(\Delta_1)}\right)$をディリクレ境界条件に対して証明し、ノイマン境界条件に対しても同様の境界を得る。
• 本手法は、新たな副産物をもたらす：$q = \frac{2d}{d-1}$における$L^q(\Omega)$で$O(\varepsilon)$の鋭い誤差見積もりであり、$\varepsilon > 0$およびLipschitz領域$\Omega$に対して、$A(y)$の滑らかさ仮定なしに成立する。