[論文レビュー] Bounded Cohomology and Deformation Rigidity in Complex Hyperbolic Geometry

Marc Burger, Alessandra Iozzi|ArXiv.org|May 4, 2005

Geometric and Algebraic Topology参考文献 29被引用数 8

ひとこと要約

この論文は局所コンpakto な群の有界連続コホモロジー理論を発展させ、それを用いて複素双曲幾何におけるミルナー＝ウッド不等式およびグローバル剛性結果を確立する。p ≥ 2 または格子がcocompactであるとき、SU(p,1) の格子は q ≥ p に対して SU(q,1) に非自明に変形できないことを証明し、ゴールドマンとミルソンの結果を非cocompactの場合に一般化する。有界コホモロジー技法を用いて達成される。

ABSTRACT

We develop further basic tools in the theory of continuous bounded cohomology of locally compact groups. We apply this tools to establish a Milnor-Wood type inequality in a very general context and to prove a global rigidity result which was originally announced by the authors with a sketch of a proof using bounded cohomology techniques and then proven by Koziarz and Maubon using harmonic map techniques. As a corollary one obtains that a lattice in SU(p,1) cannot be deformed nontrivially in SU(q,1), if either p is at least 2 or the lattice is cocompact. This generalizes to noncocompact lattices a theorem of Goldman and Millson.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト群の有界連続コホモロジーにおける基礎的道具を構築すること。
• 有界コホモロジーを用いて一般的な文脈でのミルナー＝ウッド型不等式を確立すること。
• SU(p,1) の格子が SU(q,1) に写像される場合のグローバル剛性を証明し、ゴールドマンとミルソンの結果を非cocompactな格子に拡張すること。
• 比較写像の像に属するクラスが、局所対称空間上での有界閉微分形式によって表されるかどうかを示すこと。

提案手法

• 局所コンパクト群の有界コホモロジーにおけるファイバー積と移動写像を用いたコホモロジー的道具の構築。
• 有界トーラル写像を導入し、有界コホモロジーにおける比較写像と関連付ける。
• 可測カルタンの定理を適用して、剛性問題を p = q = 2 の場合に還元する。
• 比較写像および引き戻し写像の因子分解を用いて、群の同型写像による有界類の像を分析する。
• 正の関数 β と擬不変測度 ν を用いて、L∞-空間上に連続的かつ H-不変なホモトピー作用素を構成する。
• 擬不変測度による積分を通じた移動写像を用いて、有界コホモロジー類と不変微分形式を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界コホモロジー技法を用いて、半単純リー群に対して一般的な文脈でのミルナー＝ウッド不等式を確立できるか？
• RQ2 SU(p,1) の格子が q ≥ p に対して SU(q,1) に非自明に変形可能となる条件は何か？
• RQ3 比較写像 Hcb•(Γ,R) → HdR•(Γ\X) の像に属するクラスは、局所対称空間 Γ\X 上の有界閉微分形式によって表されるか？
• RQ4 離散群の有界コホモロジーは、その関連する局所対称空間の幾何とどのように関係するか？
• RQ5 有界トーラル写像は、ヘルミート対称空間における有界コホモロジー類を特徴付けるために果たす役割は何か？

主な発見

• G' 上の任意の連続類で、有界連続類によって表されるものについては、局所対称空間 Γ\X 上の有界閉微分形式によって表される。
• 比較写像 Hcb•(Γ,R) → HdR•(Γ\X) の像に属するすべてのクラスは、Γ\X 上の有界閉微分形式によって表される。
• p ≥ 2 または格子がcocompactであるとき、SU(p,1) の格子は q ≥ p に対して SU(q,1) に非自明に変形できない。ゴールドマンとミルソンの結果を非cocompactな場合に一般化する。
• SU(p,1) の格子における比較写像は有界コホモロジーを通して因数分解され、トーラル不変量の有界性が剛性を示す。
• G×(H/Q)n 上の L∞-空間に値をとる連続的かつ H-不変なホモトピー作用素の存在は、有界コホモロジー設定における引き戻しの連続性を保証する。
• コンパクトな台を持つ関数 β と測度 ν の構成により、積分による有界コホモロジー類の移動が可能となり、連続性と不変性が証明される。