[論文レビュー] Bounded cohomology with coefficients in uniformly convex Banach spaces

Mladen Bestvina, Kenneth Bromberg+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2013

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、非自明な有限正規部分群をもたないアーシリンドリックに双曲的群に対して、任意の非ゼロの均一凸バナッハ空間を係数とする本質的擬コサイクルの空間が無限次元であることを確立する。一般化されたブルックス型構成と均一凸性および反射性を活用して、このような係数における有界コホモロジーが無限次元の非自明な擬コサイクル類を捉えることを証明し、$ρ$-正則表現からの先行結果をユニタリ表現の広いクラスへと拡張する。

ABSTRACT

We show that for acylindrically hyperbolic groups $Γ$ (with no nontrivial finite normal subgroups) and arbitrary unitary representation $ρ$ of $Γ$ in a (nonzero) uniformly convex Banach space the vector space $H^2_b(Γ;ρ)$ is infinite dimensional. The result was known for the regular representations on $\ell^p(Γ)$ with $1

研究の動機と目的

• 均一凸バナッハ空間におけるユニタリ表現への古典的ブルックス構成による擬モーフィズムの拡張。
• アーシリンドリックに双曲的群に対して、本質的擬コサイクルの無限次元空間の存在を確立すること。
• ¹-係数における有界コホモロジーに関する先行結果を、より広いバナッハ空間係数のクラスへ一般化すること。
• 均一凸性と反射性が、本質的擬コサイクルの無限性を保証するために果たす役割を明らかにすること。
• 双曲的埋め込みをもつ自由群の構造が、この設定における有界コホモロジーの無限次元性を規定することを示すこと。

提案手法

• 擬モーフィズムのブルックス構成を一般化し、均一凸バナッハ空間への無限大の擬コサイクルを生成する。
• バナッハ空間の均一凸性を用いて、特定の擬コサイクルが無限大であることを証明し、本質的擬コサイクル空間における非自明性を保証する。
• 反射性を適用して、これらの擬コサイクルが任意のコサイクルから有界距離に離れていないことを示し、本質的性質を確認する。
• ダマニ、ギュイアールデル、オシンおよびオシンの結果を活用し、アーシリンドリックに双曲的群に双曲的埋め込みをもつ自由群の存在を活用する。
• 自由群 $F_2$ と $F_2 \times K$ における $ρ$-擬コサイクルの同型を用いて、自由群からより大きな群への無限次元性の結果を移行する。
• ハルとオシンの定理（双曲的埋め込み部分群から全体群への非対称擬コサイクルの拡張）を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬モーフィズムのブルックス構成を、均一凸バナッハ空間におけるユニタリ表現へ拡張できるか？
• RQ2 均一凸バナッハ空間を係数とするアーシリンドリックに双曲的群に対して、本質的擬コサイクルの空間は無限次元か？
• RQ3 均一凸性と反射性は、擬コサイクルの非自明性および本質的性質を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 アーシリンドリックに双曲的群に双曲的埋め込みをもつ自由群が存在する場合、そのような係数における有界コホモロジーは無限次元か？
• RQ5 有限正規部分群の存在は、均一凸バナッハ空間を係数とする有界コホモロジーにどのような影響を及えるか？

主な発見

• 任意の非自明な均一凸バナッハ空間 $E$ に対して、自由群 $F_2$ の任意のユニタリ表現 $\rho$ に対して、空間 $\widetilde{QC}(F_2;\rho)$ は無限次元である。
• $\widetilde{QC}(F_2;\rho)$ の無限次元性は、無限大かつ任意のコサイクルから有界距離に離れていない一般化されたブルックス型擬コサイクルによって確立される。
• 補題 3.4 で示されるように、構成された擬コサイクルの無限大性を証明する際に、均一凸性が不可欠である。
• 補題 3.6 で示されるように、反射性はコサイクルによる有界近似を排除するために用いられる。
• 非自明な有限正規部分群をもたないアーシリンドリックに双曲的群 $G$ に対して、任意の非ゼロの均一凸バナッハ空間上のユニタリ表現 $\rho$ に対して、$\dim\widetilde{QC}(G;\rho) = \infty$ が成り立つ。
• 表現が部分群の作用で固定する非ゼロベクトルをもつ場合、有限正規部分群をもつ群に対しても結果が拡張可能である。