[論文レビュー] Bounds for radii of convexity of some $q$-Bessel functions

Halit Orhan, İbrahim Aktaş|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2017

Mathematical Inequalities and Applications参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、Euler-Rayleigh不等式およびLaguerre-Pólyaクラスの性質を用いて、ジャクソンおよびハーン＝エクソン $q$-ベッセル関数の4つの正規化形の凸性半径に対するタイトな下界と上界を確立している。これらの半径は、関連関数の零点から導かれる超越方程式の解として示され、古典的ベッセル関数に関する結果が $q$-微積分の文脈へと拡張されている。

ABSTRACT

In the present investigation, by applying two different normalizations of the Jackson and Hahn-Exton $q$-Bessel functions tight lower and upper bounds for the radii of convexity of the same functions are obtained. In addition, it was shown that these radii obtained are solutions of some transcendental equations. The known Euler-Rayleigh inequalities are intensively used in the proof of main results. Also, the Laguerre-Pólya class of real entire functions plays an important role in this work.

研究の動機と目的

• 古典的ベッセル関数の凸性半径に関する既知の結果を $q$-ベッセル関数へと拡張すること。
• 正規化されたジャクソンおよびハーン＝エクソン $q$-ベッセル関数の凸性半径に対するタイトな下界と上界を導出すること。
• これらの凸性半径が、$q$-ベッセル関数の零点を含む特定の超越方程式の解であることを示すこと。
• Euler-Rayleigh不等式およびLaguerre-Pólyaクラスの性質を用いて、凸性半径を分析すること。
• 古典的特殊関数から $q$-特殊関数へと幾何的関数論の結果を一般化すること。

提案手法

• 関数 $f(0)=0$, $f'(0)=1$ を満たす解析関数の族 $\mathcal{A}$ に属させるために、ジャクソンおよびハーン＝エクソン $q$-ベッセル関数を正規化すること。
• 正規化された $q$-ベッセル関数のべき級数係数にEuler-Rayleigh不等式を適用し、凸性半径の境界を導出すること。
• Mittag-Leffler展開および無限積表現を用いて、正規化関数の導関数を表現すること。
• 凸性半径を、関数 $z(h_{\nu}^{(3)}(z;q))'$ の2階微分から導かれる超越方程式の最小正の根として特定すること。
• Laguerre-Pólyaクラスの性質を活用し、導出された関数がすべて実零点を持つことを保証し、Euler-Rayleigh不等式の適用を可能にすること。
• 級数係数の一致を用いて、Euler-Rayleigh和 $\sigma_k = \sum_{n\geq 1} \gamma_{\nu,n}^{-k}(q)$ を $\nu$ および $q$ の関数として明示的に表現すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規化されたジャクソンおよびハーン＝エクソン $q$-ベッセル関数の凸性半径に対するタイトな境界は何か？
• RQ2 Euler-Rayleigh不等式は $q$-特殊関数にどのように適用され、凸性半径の推定に寄与するか？
• RQ3 $q$-ベッセル関数の零点とその正規化形の凸性半径との間にどのような関係があるか？
• RQ4 Laguerre-Pólyaクラスの性質は、凸性半径の境界を導出する際にどのように支援するか？
• RQ5 $q$-ベッセル関数の凸性半径は、超越方程式の解として特徴付けられるか？

主な発見

• 凸性半径 $r^c(g_{\nu}^{(2)}(z;q))$ は不等式 $\sqrt{\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{9q}} < r^c(g_{\nu}^{(2)}(z;q)) < \sqrt{\frac{9(q^2-1)(1-q^{\nu+1})(1-q^{\nu+2})}{qY_{\nu}(q)}}$ を満たす。
• 関数 $g_{\nu}^{(3)}(z;q)$ についても、同様に $\sqrt{\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{9q}} < r^c(g_{\nu}^{(3)}(z;q)) < \sqrt{\frac{9(q^2-1)(1-q^{\nu+1})(1-q^{\nu+2})}{qY_{\nu}(q)}}$ が成り立つ。
• 凸性半径 $r^c(h_{\nu}^{(3)}(z;q))$ は不等式 $\frac{(1-q)(1-q^{\nu+1})}{4q} < r^c(h_{\nu}^{(3)}(z;q)) < \frac{2(q^{\nu+1}-1)(q^{\nu+2}-1)(q^2-1)}{qE_{\nu}(q)}$ で抑えられる。
• 関数 $h_{\nu}^{(3)}(z;q)$ の凸性半径は、方程式 $(2-\nu)^2 J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) + (5-2\nu)\sqrt{r} \frac{d}{dr}J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) + r \frac{d^2}{dr^2}J_{\nu}^{(3)}(\sqrt{r};q) = 0$ の最小正の根として与えられる。
• Euler-Rayleigh和 $\sigma_1$, $\sigma_2$, および $\sigma_3$ は、$\nu$, $q$, および補助関数 $E_\nu(q)$, $K_\nu(q)$, $L_\nu(q)$, および $T(q)$ の関数として明示的に計算されている。
• 得られた境界はタイトであり、$q$-ベッセル関数の零点およびその導関数を含む超越方程式の解として示されている。