[論文レビュー] Bounds for Serre's open image theorem

David Zywina|arXiv (Cornell University)|Feb 23, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、非CM楕円曲線に対するガロア表現の像の指数に関する、最初の一般有効境界を確立し、j不変量の対数的高さおよび導子と悪性素数の個数に関して、多項式的有界性を示した。これらの境界は、Lang-Trotter定数の平均に関する未解決問題を解消し、ガロア像の成長に対する有効な制御を可能にする。

ABSTRACT

Let E be an elliptic curve over the rationals without complex multiplication. The absolute Galois group of Q acts on the group of torsion points of E, and this action can be expressed in terms of a Galois representation rho_E:Gal(Qbar/Q) o GL_2(Zhat). A renowned theorem of Serre says that the image of rho_E is open, and hence has finite index, in GL_2(Zhat). We give the first general bounds of this index in terms of basic invariants of E. For example, the index can be bounded by a polynomial function of the logarithmic height of the j-invariant of E. As an application of our bounds, we settle an open question on the average of constants arising from the Lang-Trotter conjecture.

研究の動機と目的

• 非CM楕円曲線に対して、$[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))]$ の有効かつ一般な境界を提供すること。Serreの元々の定理は、これが有限であることを示すにとどまる。
• ガロア像のサイズを制御することで、楕円曲線全体にわたるLang-Trotter定数 $C_{E,r}$ の平均を有界化するという未解決問題に取り組むこと。
• Serreの定性的な開像定理を、高さおよび導子の不変量を用いた有効的かつ定量的な形に拡張すること。
• 未前提およびGRH仮定の下で境界を確立し、有効な算術的応用のための枠組みを提供すること。

提案手法

• ℓ-冪捩れ点におけるガロア像の構造を用い、素数に関する積公式を通じて、$\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}})$ 内のグローバル像を有界化する。
• Mazur, Bilu-Parent, Krausの結果を応用し、大きな素数における $\rho_{E,\ell}$ の全射性を制御する。
• 有界式 $[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))] \leq C \cdot M^{24}$ を用い、$M$ を導子および悪性還元に依存する小素数の積とする。
• 楕円曲線の対数的高さ $h(j_E)$ および導子 $N$ を用い、$M$ およびしたがって指数を多項式的に有界化する。
• GRHを適用し、対数因子を用いて導子依存の境界を改善する。
• 有界式 $C_{E,r} \leq [\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))] \cdot C_r$ を用い、指数を通じてLang-Trotter定数を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非CM楕円曲線 $E$ に対して、ガロア表現 $\rho_E$ の捩れ点への像の指数は、j不変量の高さや導子といった不変量に関して有効に有界化可能か？
• RQ2 すべての非CM楕円曲線 $E$ に対して、曲線に依存しない一様な指数の有界値を与えることは可能か？
• RQ3 ガロア像のサイズは、Lang-Trotter定数 $C_{E,r}$ の平均にどのように影響し、その影響を有効に制御可能か？
• RQ4 一般化されたリーマン仮説の下で、指数の有界値にどのような改善が可能か？
• RQ5 指数に対する有効な有界値は、楕円曲線の族全体におけるLang-Trotter定数の平均的挙動を解消するために利用可能か？

主な発見

• 指数 $[\operatorname{GL}_2(\widehat{\mathbb{Z}}) : \rho_E(\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q}))]$ は、$\max\{1, h(j_E)\}$ の多項式で有界であり、絶対定数 $C$ と指数 $\gamma$ を用いて、j不変量の高さによる有効な制御を示した。
• 未前提では、指数は $C \cdot (68N(1 + \log \log N)^{1/2})^{24\omega(N)}$ で有界であり、$N$ を導子、$\omega(N)$ を $N$ の相異なる素因数の個数とする。
• 一般化されたリーマン仮説の下では、指数は $\left(C \log N (\log \log 2N)^3\right)^{24\omega(N)}$ で有界であり、導子依存性が改善された。
• これらの境界は、すべての非CM楕円曲線 $\mathbb{Q}$ に対して、Serreの開像定理の最初の一般的有効境界である。
• これらの境界を応用し、Lang-Trotter定数 $C_{E,r}$ の平均が $C_r$ に $O(\log^\delta(AB)/\sqrt{\min\{A,B\}})$ の速度で収束することを示した。これにより、未解決問題が解決された。
• 本論文は、非CM曲線に対して $C_{E,r} \ll_r (\max\{1, h(j_E)\})^\gamma$ が成り立つことを確立し、$\gamma$ を絶対定数として、平均の有効制御を可能にした。