[논문 리뷰] Bousfield Localization and Eilenberg-Moore Categories

Michael Batanin, David White|arXiv (Cornell University)|2016. 06. 05.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 19인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 단순 모델 범주에서 맨드라의 대수를 보존하는 데 있어 다섯 가지 조건의 동치성을 확립한다. 미묘한 가정 하에 국소화를 대수로 옮기는 것, 국소 동치를 보존하는 것, 반전된 반모델 구조를 전달하는 것은 모두 동치이며, 이는 이전의 접근 방식을 통합하고, 색이 칠해진 오페라드, 스펙트럼, 체인 복합체에 대한 국소화된 대수의 호모토피 이론을 연구하는 데 있어 종합적인 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

We prove the equivalence of several hypotheses that have appeared recently in the literature for studying left Bousfield localization and algebras over a monad. We find conditions so that there is a model structure for local algebras, so that localization preserves algebras, and so that localization lifts to the level of algebras. We include examples coming from the theory of colored operads, and applications to spaces, spectra, and chain complexes.

연구 동기 및 목표

• 왼쪽 보우시엘드 국소화가 맨드라의 대수적 구조를 보존할 때에 대한 문헌에서 흩어져 있는 접근 방식을 통합하기 위해.
• 국소화가 맨드라의 대수 범주로 옮겨질 수 있는 필요 및 충분 조건을 규명하기 위해.
• 국소화가 대수를 보존하는 것, 반전된 반모델 구조를 전달하는 것, 국소 동치를 보존하는 것 사이의 관계를 명확히 하기 위해.
• 공간, 스펙트럼, 체인 복합체, 색이 칠해진 오페라드에 적용 가능한 일반적 프레임워크를 제공하기 위해.
• 반모델 범주 맥락에서 다섯 가지 핵심 호모토피 조건 간의 종합적 동치를 확립하기 위해.

제안 방법

• 기본 범주 $\mathcal{M}$를 단순 모델 범주로 형식화하고, 맨드라 $T$와 국소화에 대해 사용할 맵의 집합 $\mathcal{C}$를 정의한다.
• 완전한 모델 구조가 존재하지 않을 수 있는 경우, 특히 오페라드에 대한 대수의 경우를 다룰 수 있도록 반모델 범주 맥락에서 작업한다.
• 반전된 반모델 구조가 $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$에 존재한다는 것을 기초 가정으로 삼는다.
• $L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M})$를 왼쪽 보우시엘드 국소화로 정의하고, 존재를 가정하며 $T$-대수와의 상호작용을 분석한다.
• 다음 다섯 가지 조건 간의 동치를 확립한다: (1) $L_{\mathcal{C}}$가 $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$에서 $L_{T(\mathcal{C})}$로 옮겨지는 것, (2) $U$가 국소 동치를 보존하는 것, (3) $\mathrm{Alg}_T(L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M}))$가 반전된 반모델 구조를 갖는 것, (4) $L_{\mathcal{C}}$가 $T$-대수를 보존하는 것, (5) $T$가 코프리프레임 객체들 사이의 $\mathcal{C}$-국소 동치를 보존하는 것.
• 부분적인 역을 증명한다: 만약 (5)가 성립하고 $T$가 미묘한 가정을 만족한다면, $U$는 국소 약한 동치를 반영한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왼쪽 보우시엘드 국소화가 맨드라의 대수를 언제 보존하는가?
• RQ2 국소화가 기저 범주에서 $T$-대수의 범주로 언제 옮겨지는가?
• RQ3 국소화된 범주에서 맨드라의 대수 범주가 반전된 반모델 구조를 언제 갖는가?
• RQ4 잊어버림 함수가 국소 동치를 보존하는 것과 국소화의 옮김 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 만약 맨드라가 코프리프레임 객체들 사이의 $\mathcal{C}$-국소 동치를 보존한다면, 잊어버림 함수에 대해 무엇을 추론할 수 있는가?

주요 결과

• 제시된 가정 하에 다섯 가지 조건—대수로의 국소화 옮김, 국소 동치 보존, 반모델 구조 전달, $T$-대수 보존, 그리고 맨드라가 코프리프레임 객체들 사이의 국소 동치를 보존하는 것—은 모두 동치이다.
• 잊어버림 함수 $U: \mathrm{Alg}_T(\mathcal{M}) \to \mathcal{M}$가 국소 동치를 보존하는 것은 $L_{\mathcal{C}}$가 $\mathrm{Alg}_T(\mathcal{M})$에서 국소화로 옮겨지는 것과 정확히 동치이다.
• 만약 $\mathrm{Alg}_T(L_{\mathcal{C}}(\mathcal{M}))$가 반전된 반모델 구조를 갖는다면, $L_{\mathcal{C}}$는 $T$-대수를 보존한다.
• 만약 다른 조건들 중 하나가 성립한다면, 맨드라 $T$는 코프리프레임 객체들 사이의 $\mathcal{C}$-국소 동치를 보존한다.
• 만약 $T$가 $\mathcal{C}$-국소 동치를 코프리프레임 객체들 사이에서 보존하고 미묘한 가정을 만족한다면, 잊어버림 함수 $U$는 국소 약한 동치를 반영한다.
• 결과는 공간, 스펙트럼, 체인 복합체, 색이 칠해진 오페라드에 대해 널리 적용 가능하며, 특히 $\Sigma$-코프리프레임 또는 각각의 항목이 코프리프레임인 오페라드에서 유래한 경우에 특히 유용하다.