[論文レビュー] Braided fusion categories, gravitational anomalies, and the mathematical framework for topological orders in any dimensions

Liang Kong, Xiao-Gang Wen|arXiv (Cornell University)|May 22, 2014

Black Holes and Theoretical Physics被引用数 89

ひとこと要約

本稿は、BFカテゴリを用いて任意次元におけるトポロジカルオーダーおよび重力的異常を統一的な数学的枠組みで定式化し、d次元におけるトポロジカルオーダーが閉じたBFカテゴリによって分類されること、また異常を持つ理論が高次元のトポロジカルオーダーの境界として生じることを示している。主な結果として、ギャップのある境界が一意にボリュームトポロジカルオーダーを決定するホログラフィー双対性が得られ、次元をまたいでBFカテゴリのコチェーン複体が形成される。

ABSTRACT

Gravitational anomalies can be realized on the boundary of topologically ordered states in one higher dimension and are described by topological orders in one higher dimension. In this paper, we try to develop a general theory for both topological order and gravitational anomaly in any dimensions. (1) We introduce the notion of BF category to describe the braiding and fusion properties of topological excitations that can be point-like, string-like, etc. A subset of BF categories -- closed BF categories -- classify topological orders in any dimensions, while generic BF categories classify (potentially) anomalous topological orders that can appear at a boundary of a gapped quantum liquid in one higher dimension. (2) We introduce topological path integral based on tensor network to realize those topological orders. (3) Bosonic topological orders have an important topological invariant: the vector bundles of the degenerate ground states over the moduli spaces of closed spaces with different metrics. They may fully characterize topological orders. (4) We conjecture that a topological order has a gappable boundary iff the above mentioned vector bundles are flat. (5) We find a holographic phenomenon that every topological order with a gappable boundary can be uniquely determined by the knowledge of the boundary. As a consequence, BF categories in different dimensions form a (monoid) cochain complex, that reveals the structure and relation of topological orders and gravitational anomalies in different dimensions. We also studied the simplest kind of bosonic topological orders that have no non-trivial topological excitations. We find that this kind of topological orders form a $\mathbb{Z}$ class in 2+1D (with gapless edge), a $\mathbb{Z}_2$ class in 4+1D (with gappable boundary), and a $\mathbb{Z}\oplus \mathbb{Z}$ class in 6+1D (with gapless boundary).

研究の動機と目的

• 任意の空間次元においてトポロジカルオーダーおよび重力的異常を分類する一般の数学的枠組みを構築すること。
• d次元における重力的異常と、1つ次元が高い次元におけるトポロジカルオーダーの境界との間の対応関係を確立すること。
• BFカテゴリを、点状、ストリング状など任意次元の励起を記述するbraided fusionカテゴリの一般化として導入すること。
• 任意次元においてこれらのトポロジカルオーダーを実現するテンソルネットワークを用いたトポロジカル経路積分を定式化すること。
• トポロジカルオーダーがギャップのある境界を持つための必要十分条件は、モジュライ空間上の基底状態のベクトル bundle が平坦であることである、という予想を提示すること。

提案手法

• トポロジカル量子場理論における任意次元の励起の編み込みと融合を記述するため、BFカテゴリを導入する。
• 閉じたBFカテゴリを定義し、これはd次元における真のトポロジカルオーダーを分類するクラスとして特徴づけられ、一般のBFカテゴリは境界での可能性のある異常を持つ理論を記述する。
• 任意次元において提案されたトポロジカルオーダーを実現するため、テンソルネットワークを用いたトポロジカル経路積分を構築する。
• リーマン計量のモジュライ空間上の簡約状態のベクトル bundle を用いて、ボソン的トポロジカルオーダーを位相不変量として特徴づける。
• コボルディズム群 ΩⁿSO を用いて可逆的トポロジカルオーダーを分類し、特性類（ポントリャーギン数およびステイフェル＝ブラウン数）を用いて異常を検出する。
• 次元をまたいでBFカテゴリにコチェーン複体構造を導入し、ホログラフィー的ボリューム-境界関係および異常流入を明らかにする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして任意次元におけるトポロジカルオーダーおよび重力的異常を体系的に分類できるか？
• RQ2 点状、ストリング状など任意次元の励起を記述するためのbraided fusionカテゴリの一般化としての数学的構造は何か？
• RQ3 d次元における重力的異常は、(d+1)次元におけるトポロジカルオーダーの境界とどのように関係するか？
• RQ4 モジュライ空間上の基底状態のベクトル bundle は、トポロジカルオーダーを完全に特徴づけられるか？
• RQ5 トポロジカルオーダーがギャップのある境界を持つための明確な条件は何か？

主な発見

• d次元における重力的異常は、(d+1)次元におけるトポロジカルオーダーの境界として実現され、ホログラフィー双対性が確立される。
• 閉じたBFカテゴリは任意次元におけるトポロジカルオーダーを分類するが、一般のBFカテゴリは境界でのみ定義可能な異常を持つ理論を記述する。
• 2+1次元では、非自明なanyonをもたないボソン的トポロジカルオーダーはZ分類をなし、境界にギャップレスモードを有する。
• 4+1次元では、同様のオーダーはZ₂分類をなし、ギャップのある境界を許容する。
• 6+1次元では分類はZ⊕Zであり、境界にギャップレスモードが存在する。
• 予想は根拠によって支持される：トポロジカルオーダーがギャップのある境界を持つための必要十分条件は、モジュライ空間上の基底状態のベクトル bundle が平坦であることである。