[論文レビュー] Braided Hopf algebras over non abelian finite groups

Nicolás Andruskiewitsch, M. Graña|ArXiv.org|Feb 16, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 79

ひとこと要約

本稿では、非アーベルな有限群の群代数上のヤテル＝ドリンフェルトカテゴリにおけるねじれHopf代数の理論を展開し、自明なコラジカルをもつ有限次元階数付きHopf代数（TOBA）に焦点を当てる。本稿は、ヤテル＝ドリンフェルト加群からこのような代数を構成する3通りの方法を提示し、原始的元の空間による分類を確立し、特に二面体群および対称群上での明示的例を提示する。これには、$
mathbb{D}_4$ 上の4次元加群から生じる64次元の代数が含まれる。主な貢献は、ボゾニゼーションを介してねじれHopf代数と指標付きHopf代数を結びつける体系的な枠組みを確立したことにある。

ABSTRACT

This is a survey of general aspects of the theory of braided Hopf algebras with emphasis on a special class of braided graded Hopf algebras named tobas. The interest on tobas arises from problems of classification of pointed Hopf algebras. We discuss tobas from different points of view following ideas of Lusztig, Nichols and Schauenburg. We then concentrate on braided Hopf algebras in the Yetter-Drinfeld category over H, where H is the group algebra of a non abelian finite group. We present some finite dimensional examples arising in an unpublished work by Milinski and Schneider.

研究の動機と目的

• 非アーベルな有限群の群代数上のヤテル＝ドリンフェルトカテゴリにおけるねじれHopf代数の理論を発展させること。
• 自明なコラジカルをもつ有限次元階数付きねじれHopf代数（TOBA）を、その原始的元の空間によって分類すること。
• 与えられたヤテル＝ドリンフェルト加群から、量子シャッフル、普遍性、および新しい双線形形式を用いた複数の構成法によりTOBAを構成すること。
• ミリンスキーとシュナイダーの未発表作業に基づく、特に$
  mathbb{S}_3$および$
  mathbb{D}_4$上での明示的有限次元例を提示すること。
• これらの代数のボゾニゼーションが、既知のコラジカル構造をもつ指標付きHopf代数として得られることを確立すること。

提案手法

• 非アーベルな有限群$
  Gamma$に対して$H = \mathbb{k}\Gamma$とおくとき、$H$上のヤテル＝ドリンフェルトカテゴリ${}^{H}_{H}{\cal YD}$をねじれHopf代数の環境として用いる。
• ボゾニゼーション（または双積）構成を用いて、ねじれHopf代数と指標付きHopf代数を関連付ける。
• 量子シャッフル代数と普遍性を用いて、ヤテル＝ドリンフェルト加群$V$からTOBAを構成し、$R(1) \cong V$を保証する。
• ルシュティグとシュアウエンブルクにインspiredした、双線形形式を用いてTOBA$\mathfrak{t}(V)$を定義する新しい構成法を導入する。
• ダイヤモンド補題を用いて、特に$
  mathbb{D}_4$例において、得られる代数の次元を計算する。
• 生成元と関係式による明示的表現を通じて、ボゾニゼーションされた代数における関係を検証する。これには、群的元および原始的元に類する元が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非アーベル有限群上のヤテル＝ドリンフェルトカテゴリにおけるねじれHopf代数を体系的に構成・分類する方法は何か？
• RQ2 TOBAの原始的元の空間とその背後にあるヤテル＝ドリンフェルト加群との関係は何か？
• RQ3 双線形形式を用いた新しいTOBAの構成法を定義できるか？また、既存の量子シャッフルに基づく方法と比べてどのように異なるか？
• RQ4 対称群および二面体群上での明示的有限次元TOBAの次元と定義関係は何か？
• RQ5 $n > 4$ または $p > 4$ のとき、代数$R^n_p$は有限次元のままであるか？

主な発見

• TOBA$\mathfrak{t}(V)$は、その原始的元の空間$V = \mathcal{P}(R)$によって、同型を除いて一意に定まる。これは分類結果を確立する。
• $\Gamma = \mathbb{S}_3$の場合、ボゾニゼーションされた代数の次元は72であり、コラジカルは$\mathbb{k}\mathbb{S}_3$に同型である。生成元と関係式は、$g_i^2 = 1$、$g_1g_0g_1 = g_0g_1g_0$、および$y_i^2 = 0$を含む。
• $\mathbb{D}_4$上では、4次元ヤテル＝ドリンフェルト加群のテンソル代数を、$z_i^2 = 0$、$i,j$が偶数または奇数のとき$z_iz_j + z_jz_i = 0$、および$a = z_1z_2 + z_0z_1$と$b = z_1z_0 + z_2z_1$に関する追加の二次関係で商することで、64次元のTOBAを構成した。ダイヤモンド補題により確認された。
• $R^1_4$が有限次元であることが示されたが、$n > 4$のときの$R^1_n$の有限次元性は未解決のままである。
• 有限次元ねじれHopf代数における積分の空間が、可逆対象であることが示され、これにより標準的結果（例えば、反対合の双射性）のねじれ版が得られた。