[論文レビュー] Braiding and entanglement in spin networks: a combinatorial approach to topological phases

Zoltán Kádár, Annalisa Marzuoli+1 more|ArXiv.org|Jun 24, 2008

Quantum many-body systems参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、SU(2)q-彩色トリアングリュレーション上のTuraev–Viro状態和モデルを用いた組み合わせ的枠組みを提案し、2次元格子模型における位相的物質相を記述する。表面Σ上のLevin–Wenストリングネットハミルトニアンが、Σ×[0,1]上のTuraev–Viro振幅と等価であることを示している。主な貢献は、q-変形リ coupling係数とF行列を介してスピンネットワースの編み込みとエンタングルメント構造、および位相的量子場理論との間の直接的な代数的対応を確立することにある。

ABSTRACT

The spin network quantum simulator relies on the su(2) representation ring (or its q-deformed counterpart at q= root of unity) and its basic features naturally include (multipartite) entanglement and braiding. In particular, q-deformed spin network automata are able to perform efficiently approximate calculations of topological invarians of knots and 3-manifolds. The same algebraic background is shared by 2D lattice models supporting topological phases of matter that have recently gained much interest in condensed matter physics. These developments are motivated by the possibility to store quantum information fault-tolerantly in a physical system supporting fractional statistics since a part of the associated Hilbert space is insensitive to local perturbations. Most of currently addressed approaches are framed within a 'double' quantum Chern-Simons field theory, whose quantum amplitudes represent evolution histories of local lattice degrees of freedom. We propose here a novel combinatorial approach based on `state sum' models of the Turaev-Viro type associated with SU(2)_q-colored triangulations of the ambient 3-manifolds. We argue that boundary 2D lattice models (as well as observables in the form of colored graphs satisfying braiding relations) could be consistently addressed. This is supported by the proof that the Hamiltonian of the Levin-Wen condensed string net model in a surface Sigma coincides with the corresponding Turaev-Viro amplitude on Sigma x [0,1] presented in the last section.

研究の動機と目的

• q-変形SU(2)表現理論を用いて、スピンネットワーク量子計算と位相的物質相との間の組み合わせ的リンクを確立すること。
• 表面Σ上のLevin–Wenストリングネットモデルのハミルトニアンが、Σ×[0,1]上のTuraev–Viro状態和振幅に対応することを示すこと。
• 境界2次元格子模型と彩色付きブレードグラフが、Turaev–Viro状態和フレームワーク内で一貫して記述可能であることを示すこと。
• q-変形6j記号とF行列を用いて、スピンネットワークにおける位相的不変量、編み込み、エンタングルメントの記述を統一すること。
• トリアングリュレーションとラベルの和を用いて、Turaev–Viro規定がストリングネットモデルの電気的および磁気的制約と整合することを検証すること。

提案手法

• 三価ヘキサゴナル・ハニカム格子から、表面Σ×[0,1]の双対トリアングリュレーションを構築し、面の中心に頂点を配置し、隣接するもの同士を接続する。
• トリアングリュレーション内の各単体にq-変形6j記号（F行列）を関連付け、Turaev–Viro状態和モデルにおける振幅重みを表す。
• 六角形プレートの6つの頂点に対応する6つのF行列の積として、頂点作用素B_p^sを定義する。
• B_p作用素の可換性を用いて、共有頂点におけるF行列の順序を再編成し、Turaev–Viro規定と代数的に整合するようにする。
• 内部辺（Σに垂直な辺を含む）に量子次元重みd_iを割り当て、境界辺にa'', b'', などのラベルを割り当て、Turaev–Viro正規化と一致させる。
• 境界頂点が辺sで接続されている場合に因子(Σ_i d_i²)^{-1/2}を割り当て、Turaev–Viro重みw^{-1}と一致させ、すべての内部ラベリングについて和をとることで分配関数を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 表面Σ上のLevin–Wenストリングネットハミルトニアンは、Σ×[0,1]上のTuraev–Viro状態和モデルから導出可能か？
• RQ2 スピンネットワークにおける編み込みとエンタングルメント構造は、q-変形リ coupling係数を通じて位相的不変量とどのように関係するか？
• RQ3 Turaev–Viro状態和規定は、ストリングネットモデルの電気的および磁気的制約と整合的か？
• RQ4 三価格子の双対グラフを用いて、Turaev–Viro振幅を実現する3次元トリアングリュレーションを構築可能か？
• RQ5 スピンネットワークモデルにおけるF行列要素およびその積構造は、Turaev–Viroモデルの重みと正規化を再現するか？

主な発見

• 表面Σ上のLevin–Wenストリングネットモデルのハミルトニアンは、数学的にΣ×[0,1]上のTuraev–Viro振幅と等価であり、格子ハミルトニアンと状態和モデルとの間の直接的対応を確立している。
• 各B_p作用素（6つのF行列の積）の積は、底面が三角形abc、上面が三角形a''b''c''である角柱のトリアングリュレーションを再現し、Turaev–Viro規定と一致する。
• トリアングリュレーション内の内部辺には重みd_iが割り当てられ、Turaev–Viro正規化と整合的であり、境界辺にラベルa'', b'', などが付与されたものも同様にd_i重みを持つ。
• 辺sで接続された境界頂点に因子(Σ_i d_i²)^{-1/2}を割り当て、Turaev–Viro重みw^{-1}と一致させ、境界状態正規化の整合性が確認された。
• 積∏_p B_pにおける内部ラベルs_iおよびa'b'c'd'...の和は、Turaev–Viro分配関数における内部着色の和と完全に一致する。
• 頂点における非可適ラベルリングは、q-6j記号の消滅により消えるため、電気的制約∏_q Q_qがB_pの積によって強制される。