[論文レビュー] Branching random walk in Z^4 with branching at the origin only

Yueyun Hu, Vladimir Vatutin+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 24, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、原点でのみ分岐が許可された $ℤ^4$ 上の臨界的分岐ランダムウォークを検討し、$t \to \infty$ の際に漸近的生存確率 $q(t) \sim C \frac{\log t}{t}$ を確立する。ここで $C > 0$ はモデルのパラメータに依存する。さらに、生存を条件とした際の、原点における粒子数のスケーリングされた分布が、累積分布関数 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}(1 - e^{-2x/3})$（$x > 0$）を持つ非退化分布に収束することを示すYaglom型極限定理を証明する。これは $d=4$ の場合における未解決問題を解決する。

ABSTRACT

For the critical branching random walk in $\mathbb{Z}^{4}$ with branching at the origin only we find the asymptotic behavior of the probability of the event that there are particles at the origin at moment $t ightarrow \infty $ and prove a Yaglom type conditional limit theorem for the number of individuals at the origin given that there are particles at the origin.

研究の動機と目的

• 原点でのみ分岐が許可された $\mathbb{Z}^4$ 上の臨界的分岐ランダムウォークにおける、生存確率 $q(t) = \mathbb{P}(\mu_0(t) > 0)$ の漸近的性質を解明する。
• 非消滅を条件とした際の、原点における粒子数のYaglom型条件付き極限定理を確立する。
• 4次元における、基礎的なランダムウォークの再帰的性質と臨界的分岐機構との相関関係を調査する。
• 生存確率の明確な漸近的表現および、原点における粒子数の条件付き分布を特定する。
• 他の次元では進展が見られたものの、$d=4$ の場合にのみ未解決であった文献の空白を埋める。

提案手法

• 原点および他の場所における粒子数の時間発展をモデル化するための母関数法を用い、生存確率に関する畳み込み方程式を導出する。
• 重要な畳み込み方程式に対して2次分析を適用し、粗い上界を改善して $q(t)$ の正確な漸近的挙動を導出する。
• 真の生存確率を上界および下界で囲むために、多項式型の産み分け生成関数を持つ補助的分岐過程を構築する。
• 生成関数の収束性と単調性を用いて、真の過程と上界・下界過程を比較する。
• 条件付きラプラス変換法を用いて、$\mu_0(t)$ の極限分布を分析し、補助過程から得た境界を応用する。
• 既知の $\mathbb{Z}^4$ 上のポテンシャル核および帰還確率に関する結果を用い、定数 $C$ を $a$, $\alpha$, $f^{(2)}(1)$, および $\gamma_4$（ランダムウォークのポテンシャル核からの定数）の関数として表現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 原点でのみ分岐が許可された $\mathbb{Z}^4$ 上の臨界的分岐ランダムウォークにおける、生存確率 $q(t) = \mathbb{P}(\mu_0(t) > 0)$ の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ2 時間 $t$ における少なくとも1つの粒子が存在するという条件下で、原点における粒子数の条件付き分布は、$t \to \infty$ の際にどのように振る舞うか？
• RQ3 次元 $d=4$ が臨界的分岐過程において果たす役割は何か。特に再帰性および生存確率との関係において。
• RQ4 $q(t)$ の漸近的表現に現れる定数は、産み分け分散や遷移分布を含むモデルパラメータにどのように依存するか？
• RQ5 多項式型産み分け則に従う補助的分岐過程との比較によって、原点における粒子数の条件付き極限定理を確立できるか？

主な発見

• 生存確率 $q(t) = \mathbb{P}(\mu_0(t) > 0)$ は、$t \to \infty$ の際に $q(t) \sim C \frac{\log t}{t}$ を満たす。ここで $C = \frac{3a(1-\alpha)\gamma_4 h_4^2}{\alpha f^{(2)}(1)} > 0$ である。
• 定数 $C$ は、遷移率 $a$、死滅確率 $\alpha$、$\mathbb{Z}^4$ 上での原点への最終的帰還確率 $h_4$、産み分け生成関数の2次微分 $f^{(2)}(1)$、およびランダムウォークのポテンシャル核からの定数 $\gamma_4$ に明示的に依存する。
• 非消滅を条件とした $\mu_0(t)$ の条件付き分布は、$x > 0$ に対して累積分布関数 $\frac{1}{3} + \frac{2}{3}(1 - e^{-2x/3})$ を持つ非退化極限分布に弱収束する。
• 非消滅を条件とした原点における粒子数の期待値は、$t \to \infty$ の際に $\mathbb{E}[\mu_0(t) \mid \mu_0(t) > 0] \sim \frac{3}{\alpha f^{(2)}(1) C^2} \frac{t}{\log^2 t}$ を満たす。
• $q(t)$ の漸近的挙動は、畳み込み方程式に対する2次分析によって導出され、1次分析では粗い上界しか得られず、正確な漸近的挙動を得るには2次分析が必要である。
• 証明は、多項式型産み分け分布を持つ上界・下界分岐過程の構築に依存しており、生成関数の単調性および収束性を用いて、真の生存確率およびその条件付きモーメントをはさみこむ。