[論文レビュー] Brick-wall lattice paths and applications

Leonard Dăuş, Valeriu Beiu+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 14, 2018

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 7被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ランニングボンド（ストレッチャーボンド）積みのレンガ積み模様に基づくブリックウォールラティスパスを導入し、新しい行列ベースの数え上げ法を提案する。本研究では、フィボナッチ数列やその他の整数列との関係を確立し、ハンモックネットワークにおける信頼性多項式の最初の2つの非ゼロ係数の正確な式を導出する。また、幅が3から11にわたる長方形領域に制限されたパスについて、遷移行列と母関数を用いた閉形式の表現を提供する。

ABSTRACT

We introduce a new type of lattice path, called brick-wall lattice path, and we derive a formula which counts the number of paths on these lattices imposing certain restrictions on the Cartesian plane. Connections to the Fibonacci sequence, as well as to other sequences of numbers, are given. Finally, we use these brick-wall lattice paths to determine the first two non-zero coefficients of the reliability polynomials associated with particular two-terminal networks known as hammocks.

研究の動機と目的

• ランニングボンド（ストレッチャーボンド）積みのレンガ積み模様に基づいて、新たなラティスパスのクラスを定義・形式化すること。
• デカルト平面上の長方形領域に制限されたこのパスの数え上げを、行列ベースの方法で開発すること。
• ブリックウォールパスの数え上げと、特にフィボナッチ数列を含む既知の整数列との間の一対一対応を確立すること。
• パスの数え上げを応用し、2端子ハンモックネットワークにおける信頼性多項式の最初の2つの非ゼロ係数を計算すること。
• 端縁の重複数えを補正するための遷移行列とベクトルの調整を用いて、これらの係数の正確な閉形式表現を提供すること。

提案手法

• ラティス点の偶奇に基づいて2種類のブリックウォールラティスパス（タイプ1およびタイプ2）を定義し、それぞれが偶数点か奇数点かに応じて異なる垂直ステップのルールに従う。
• 各列を横断するパスの伝搬をモデル化するための遷移行列 M を使用し、各列 i における終端行位置のパス数を表す状態ベクトル b(t)_i を定義する。
• 幅 w = 3 の場合、フィボナッチ数の 3×3 行列を導出し、パス数がフィボナッチ数列に従うことを示す。
• 幅 w = 4 の場合、母関数を用いて再帰関係およびパス数の閉形式表現を導出する。
• リレーサブセットの過剰数えを補正するために、遷移行列と状態ベクトルを調整し、壁の端縁（上部／下部）の位置で 1 を 0 に置き換える。
• 重複して数え上げられた二重パス構成を補正するため、ベクトル演算 uMu^T、uMv^T、およびその組み合わせを用いて、信頼性多項式の第二係数 Pl+1 を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブリックウォールラティスパスは、ランニングボンドラティスパターン上でどのように形式的に定義され、数え上げられるか？
• RQ2 幅 w = 3 の場合、ブリックウォールパスの数え上げとフィボナッチ数列の関係は何か？
• RQ3 母関数を用いて、幅 w = 4 のような広い長方形領域におけるパス数えをどのように行えるか？
• RQ4 ハンモックネットワークにおける信頼性多項式の最初の2つの非ゼロ係数の正確な式は何か？
• RQ5 上部／下部の半分レンガのリレー（エッジ効果）は、信頼性多項式係数における (l+1)-サブセットの過剰数えにどのように影響するか？

主な発見

• 幅 w = 3 の場合、ブリックウォールラティスパスの数 Bl,3 はフィボナッチ数列に従い、Bl,3 = F_{l+2} が成り立つ。ここで F_n は第 n 項のフィボナッチ数である。
• 幅 w = 4 の場合、パス数 B(1)_l,4 と B(2)_l,4 はそれぞれ OEIS の列番号 A068911 および A153339 に対応し、線形再帰関係に従う。
• 任意のハンモックネットワークにおける信頼性多項式の最初の非ゼロ係数 Pl は、正確にブリックウォールラティスパスの数に等しく、ネットワーク構成に応じて Pl = B(1)_l,w または B(2)_l,w である。
• 第二非ゼロ係数 Pl+1 は、Pl+1 = −(wl − l)Nl + Nl+1 として導出される。ここで Nl+1 は、エッジリレーによって生じる二重パスを含む (l+1)-サブセットの過剰数えを補正する項である。
• 奇数幅 w の場合、Pl+1 = −uMv^T であり、偶数幅 w の場合、遷移行列の構造に応じて複数のケースに分けられ、特に Pl+1 = −1/2(uMt^T + uM^T u^T) が成り立つ。
• 幅 w = 3 の場合、Pl+1 = −2F_{l+1} が成り立ち、第二係数がフィボナッチ数列と直接関係することを示し、l の偶奇にかかわらず成り立つ。