[論文レビュー] Bridgeland Stability conditions on threefolds I: Bogomolov-Gieseker type inequalities

Arend Bayer, Emanuele Macrì+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、標準的 t-構造の二重チルトを用いて、滑らかで射影的な3次元多様体の導来カテゴリ−にブリジゲルド安定性条件の推測的構成を提案する。安定な複体の3番目のチャーン類数について、ボゴモロフ＝ギーセンカー型不等式を確立し、特に射影空間などの特定のケースでその不等式を証明し、π³および特定の二次3次元多様体において、大体積極限に近いπ-安定性の存在を検証する。

ABSTRACT

We construct new t-structures on the derived category of coherent sheaves on smooth projective threefolds. We conjecture that they give Bridgeland stability conditions near the large volume limit. We show that this conjecture is equivalent to a Bogomolov-Gieseker type inequality for the third Chern character of certain stable complexes. We also conjecture a stronger inequality, and prove it in the case of projective space, and for various examples. Finally, we prove a version of the classical Bogomolov-Gieseker inequality, not involving the third Chern character, for stable complexes.

研究の動機と目的

• 滑らかで射影的な3次元多様体の導来カテゴリ−に、t-構造の二重チルト構成を用いてブリジゲルド安定性条件を構成すること。
• チルト安定性下での安定な複体に関して、3番目のチャーン類数を含むボゴモロフ＝ギーセンカー型不等式を予想すること。
• 特に射影空間や特定の二次3次元多様体などの特定のケースで、予想された不等式を証明すること。
• π³および完全な例外的コレクションを持つ他の3次元多様体において、大体積極限に近い安定性条件の存在を確立すること。
• 不等式が成立する場合に中央電荷 $Z_{\omega,B}$ が安定性条件を定義することを、強い例外的コレクションによって生成されるt-構造を用いて検証すること。

提案手法

• t-構造の標準的コホーモロジー $\mathrm{Coh}(X)$ から二重チルトにより心 $\mathcal{A}_{\omega,B}$ を構成する：まず $\omega$ に関するスロープ安定性を用いて最初のチルトを行い、その後その結果のカテゴリ−上で新たな安定性条件を用いて二回目のチルトを行う。
• 中央電荷 $Z_{\omega,B}(E) = -\int_X e^{-B-i\omega} \mathrm{ch}(E)$ を定義し、これは数値的グロトゥンドッケ・グループを通して因数分解される。
• 中央電荷を $\mathrm{ch}_1^B, \mathrm{ch}_2^B, \mathrm{ch}_3^B$ を用いて表現するために、ねじれたチャーン類数 $\mathrm{ch}^B(E) = e^{-B}\mathrm{ch}(E)$ を用いる。
• $s > \frac{7t-2}{6(t+1)}$ および $0 < t < \frac{1}{2}$ のとき、$(Z^{s,t}, \mathcal{A}_t)$ が $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$ 上で安定性条件を定義することを証明する。
• Beilinsonの $\mathbb{P}^3$ 上の完全な例外的コレクションを用いて、心 $\mathcal{C}$ を持つt-構造を定義し、それを基準の安定性条件として、サポート性質の検証に用いる。
• 一般基準（命題 8.1.1）を適用し、$Z^{s,t}$ が $\mathcal{C}$ 上でサポート条件を満たすならば、$\mathcal{A}_t$ 上で安定性条件を定義することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大体積極限に近い滑らかで射影的な3次元多様体の導来カテゴリ−にブリジゲルド安定性条件が存在するか？
• RQ2 3番目のチャーン類数に関するボゴモロフ＝ギーセンカー型不等式が、このような安定性条件の存在に必要かつ十分であるか？
• RQ3 特に $\mathbb{P}^3$ や二次3次元多様体などの特定のケースで、予想された不等式を証明できるか？
• RQ4 心 $\mathcal{A}_{\omega,B}$ の二重チルト構成が、有効なt-構造であり、安定性条件を支えるものか？
• RQ5 $(Z^{s,t}, \mathcal{A}_t)$ が $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$ 上で安定性条件を定義するパラメータ $s,t$ の正確な範囲は何か？

主な発見

• 本稿は、$0 < t < \frac{1}{2}$ および $s > \frac{7t - 2}{6(t + 1)}$ を満たすすべての有理数 $s,t$ に対して、$(Z^{s,t}, \mathcal{A}_t)$ が $\mathrm{D}^b(\mathbb{P}^3)$ 上で安定性条件を定義することを証明している。$s = 3t$ の場合も含む。
• $\omega = \sqrt{3}$ のとき、$t = \frac{\omega^2}{6} = \frac{1}{2}$ および $s = \frac{t}{3} = \frac{1}{6}$ では強い予想が成立するが、$Z^{1/6,1/2}(\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)) = 0$ であるため、この選択では安定性条件が定義されない。
• 不等式 $s > \frac{7t - 2}{6(t + 1)}$ は鋭い：$s = \frac{1}{6}$ および $t = \frac{1}{2}$ のとき、中央電荷は $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^3}(1)$ で消えるため、安定性の正値性条件に反する。
• 著者らは、強い完全な例外的コレクションを用いて、$Q \subset \mathbb{P}^4$ における二次3次元多様体の導来カテゴリ−に安定性条件の存在を検証した。$\omega^3 < \frac{1}{12\sqrt{3}}$ のとき。
• 証明は、$\mathcal{O}_Q(-1)[3], S(-1)[2], \mathcal{O}_Q[1], \mathcal{O}_Q(1)$ によって生成される心 $\mathcal{C}$ が $\langle \mathcal{A}_t, \mathcal{A}_t[1] \rangle$ に含まれることを示すことにより、安定性基準の適用を可能にする。
• この構成は、$\mathbb{P}^3$ や他の強い完全な例外的コレクションを持つ3次元多様体に一般化可能であり、ラインバンドルおよびスピンルバンドルが適切なチルトカテゴリに属することを検証することで成立する。