[論文レビュー] Brouwer's Fan Theorem as an axiom and as a contrast to Kleene's Alternative

Wim Veldman|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 21被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、基本直観的数学（BIM）の直観的枠組みにおいて、ブローウェルのファン定理（FT）とクレインの代替定理（KA）を検討し、直観的解析における主要な原則とそれらの論理的同値性を確立している。FTが直観的決定性定理および一様中間値定理に同値であることを示しており、KAはそれらの強い否定として機能し、異なる意味的解釈下で構成的数学における基礎的二重性を明らかにしている。

ABSTRACT

The paper is a contribution to intuitionistic reverse mathematics. We introduce a formal system called Basic Intuitionistic Mathematics BIM, and then search for statements that are, over BIM, equivalent to Brouwer's Fan Theorem or to its positive denial, Kleene's Alternative to the Fan Theorem. The Fan Theorem is true under the intended intuitionistic interpretation and Kleene's Alternative is true in the model of BIM consisting of the Turing-computable functions. The task of finding equivalents of Kleene's Alternative is, intuitionistically, a nontrivial extension of finding equivalents of the Fan Theorem, although there is a certain symmetry in the arguments that we shall try to make transparent. We introduce closed-and-separable subsets of Baire space and of the set of the real numbers. Such sets may be compact and also positively noncompact. The Fan Theorem is the statement that Cantor space, or, equivalently, the unit interval, is compact, and Kleene's Alternative is the statement that Cantor space, or, equivalently, the unit interval is positively noncompact. The class of the compact closed-and-separable sets and also the class of the closed-and-separable sets that are positively noncompact are characterized in many different ways and a host of equivalents of both the Fan Theorem and Kleene's Alternative is found.

研究の動機と目的

• 弱い直観的理論BIMにおけるブローウェルのファン定理（FT）およびクレインの代替定理（KA）の論理的状態を分析すること。
• FTと可算選択、連続性、およびバー帰納法の直観的原則との関係を調査すること。
• FTが、すべてのカントール空間の部分集合が構成的に決定可能であると主張する直観的決定性定理に同値であることを確立すること。
• KAがFTの強い否定であり、一様中間値定理などの主要な直観的定理の強い否定に同値であることを示すこと。
• ファン定理およびその否定の基礎的役割を、意図された直観的解釈と計算可能関数のモデルの二つの解釈の下で明確化すること。

提案手法

• 自然数と無限列を含む二種類のスロットを持つ直観的理論BIMにおいて、ファン定理（FT）とクレインの代替定理（KA）を一階論理文として形式化すること。
• 直観的逆数学を用いて、FTと可算選択公理の対対偶との間の形式的同値性、およびKAとそれらの強い否定との間の同値性を証明すること。
• カントール空間の部分集合に対する構成的に意味のある決定性の概念を導入し、FTが直観的決定性定理に同値であることを証明すること。
• BIM内において、FTと一様中間値定理および古典的命題論理のコンパクト性定理との間の形式的同値性を確立すること。
• FTとKAの真偽を評価するために、BIMの二つの解釈（意図された直観的解釈と計算可能関数のモデル）を分析すること。
• 再帰的構成と系列に基づく定義を用いて、構成的設定における実関数およびゲーム理論的戦略を形式化すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブローウェルのファン定理（FT）はBIMにおいて直観的決定性定理に同値か？
• RQ2 クレインの代替定理（KA）は、FTおよびBIMにおける可算選択公理の公理と関係して、論理的状態はいかなるものか？
• RQ3 BIMの二つの解釈—意図された直観的解釈と計算可能関数のモデル—は、FTとKAの妥当性においてどのように異なるか？
• RQ4 一様中間値定理および古典的命題論理のコンパクト性定理は、BIMにおいてFTに同値か？
• RQ5 FTの強い否定、すなわちKAは、主要な直観的原則の強い否定として形式的に特徴付けられるか？

主な発見

• ファン定理（FT）は、形式的に直観的決定性定理に同値であり、これはすべてのカントール空間の部分集合が構成的に決定可能であると述べるものである。
• クレインの代替定理（KA）は、ファン定理の強い否定に同値であり、BIMにおける可算選択公理の強い否定にも同値である。
• BIM内において、FTは一様中間値定理および古典的命題論理のコンパクト性定理に同値である。
• KAは、BIM内において一様中間値定理およびコンパクト性定理の強い否定に同値である。
• BIMの計算可能関数のモデルの解釈下では、FTは成立せず、KAは真となる。これはクレインの元々の観察を確認するものである。
• 理論BIMは、構成的原則とその強い否定との間の形式的区別を支持しており、FTとKAは直観的解析における基礎的二重性を形成する。