[論文レビュー] BSDEs with weak reflections and partial hedging of American options

Roxana Dumitrescu, Romuald Élie+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 1, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、すべての停止時刻において確率的制約を満たす弱い反射を伴う後向きストキャスティック微分方程式（Backward Stochastic Differential Equations）を導入する。この方程式は、解がすべての停止時刻において制約を満たすことを特徴とする。well-posedness（適切に定義された性質）を確立し、下位反射型g準 martingale に対する非線形 Mertens 型分解を導出し、最小上位解が鞍点を有する確率的制御／最適停止ゲームとして表現可能であることを示す。これにより、アメリカン・オプションの近似ヘッジィングのための新たな枠組みが提供される。

ABSTRACT

We introduce a new class of \ extit{Backward Stochastic Differential Equations with weak reflections} whose solution $(Y,Z)$ satisfies the weak constraint $\ extbf{E}[\\Psi(\ heta,Y_\ heta)] \\geq m,$ for all stopping time $\ heta$ taking values between $0$ and a terminal time $T$, where $\\Psi$ is a random non-decreasing map and $m$ a given threshold. We study the wellposedness of such equations and show that the family of minimal time $t$-values $Y_t$ can be aggregated by a right-continuous process. We give a nonlinear Mertens type decomposition for lower reflected $g$-submartingales, which to the best of our knowledge, represents a new result in the literature. Using this decomposition, we obtain a representation of the minimal time $t$-values process. We also show that the minimal supersolution of a such equation can be written as a \ extit{stochastic control/optimal stopping game}, which is shown to admit, under appropriate assumptions, a value and saddle points. From a financial point of view, this problem is related to the approximative hedging for American options.

研究の動機と目的

• すべての停止時刻において弱い反射制約を満たす新たなタイプの後向き確率微分方程式の開発。
• 最小時刻tにおける値プロセスのwell-posednessと経路の正則性（右連続性）の確立。
• 弱い反射のもとでの下位反射型g準 martingale に対する非線形 Mertens 型分解を導出し、文献において新たな結果をもたらす。
• このような BSDE の最小上位解を確率的制御／最適停止ゲームとして表現し、適切な条件下で価値および鞍点の存在を証明する。
• 金融市場におけるアメリカン・オプションの近似ヘッジィング問題への応用。

提案手法

• すべての停止時刻 θ ∈ [0, T] に対して E[Ψ(θ, Yθ)] ≥ m を満たす制約を用いて、弱い反射を伴う新たな BSDE の定式化。
• 下位反射型g準 martingale の概念を導入し、弱い反射のもとで非線形 Mertens 型分解を導出する。
• 確率的制御／最適停止ゲームの定式化を用いて最小上位解を構成する。
• 最小上位解が右連続プロセスに集約可能であることを証明する。
• 生成子およびフィルトレーションに適切な仮定を置くことで、ゲームにおける価値および鞍点の存在を確立する。
• 分解およびゲーム表現を用いて、解がアメリカン・オプションの最小スーパーヘッジィングコストと関連することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての停止時刻において弱い反射制約を満たす新たなタイプの BSDE は、適切に定義され、正則な解プロセスをもたらすか？
• RQ2 弱い反射のもとで、下位反射型g準 martingale に対して非線形 Mertens 型分解が存在するか？
• RQ3 このような BSDE の最小上位解は、価値および鞍点を有する確率的制御／最適停止ゲームとして表現可能か？
• RQ4 弱い反射型 BSDE の解とアメリカン・オプションの最小スーパーヘッジィングコストとの間にはどのような関係があるか？
• RQ5 弱い反射のもとで、最小時刻tにおける値が右連続プロセスにどのように集約可能か？

主な発見

• 最小時刻tにおける値プロセス Yt の族は右連続プロセスに集約可能であり、解の経路の正則性が保証される。
• 下位反射型g準 martingale に対する非線形 Mertens 型分解が新たに確立され、理論的進展として顕著である。
• 弱い反射型 BSDE の最小上位解は、適切な仮定のもとで価値および鞍点を有する確率的制御／最適停止ゲームとして表現可能である。
• 解プロセスはアメリカン・オプションの最小スーパーヘッジィングコストの表現を提供し、近似ヘッジィングのための新たな手法を提供する。
• すべての停止時刻における弱い制約を組み込むことで、反射型 BSDE の理論が拡張され、最適停止およびヘッジィング問題への応用範囲が拡大される。
• 弱い反射型 BSDE を用いたアメリカン・オプションの動的ヘッジィングのための、確率論的かつ PDE を用いない厳密な基礎が確立される。