[論文レビュー] Building arbitrage-free implied volatility: Sinkhorn's algorithm and variants

Hadrien De March, Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|Feb 12, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 21被引用数 16

ひとこと要約

この論文は、Sinkhornのアルゴリズムおよびその変種を用いて、買付・売却価格の見積もりから、アービタージュのないインプライド・ボラティリティ・サーフェスを高速かつ収束的に構築する数値的手法を提案する。問題をマルティンググール最適輸送問題として定式化することで、ストライクおよびマーサリティの両方におけるアービタージュ条件を厳密に満たしつつ、Bid-Askスプレッド内に正確に市場の見積もりをフィットさせる。理論的収束保証を伴う高速なキャリブレーションを実現する。

ABSTRACT

We consider the classical problem of building an arbitrage-free implied volatility surface from bid-ask quotes. We design a fast numerical procedure, for which we prove the convergence, based on the Sinkhorn algorithm that has been recently used to solve efficiently (martingale) optimal transport problems.

研究の動機と目的

• カレンダー・バーチャル・アービタージュおよびバタフライ・アービタージュのない、数値的に効率的かつ収束性を有するインプライド・ボラティリティ・サーフェスの構築手順を開発すること。
• 市場のコール・オプション見積もりをBid-Askスプレッド内に正確にフィットさせ、市場の一貫性を保つこと。
• 決算発表前のメキシコ・ハット型スマイリーズのような複雑なボラティリティパターンを再現できる能力を維持すること。
• 株式デリバティブのマーケットメイカーおよびリスクニュートラルなモデルキャリブレーションに適したスケーラブルなソリューションを提供すること。

提案手法

• アービタージュのないボラティリティ・サーフェスの構築を、周辺分布およびモーメント制約を伴うマルティンググール最適輸送問題として定式化する。
• Sinkhornのアルゴリズムを用いて、繰り返し確率分布をスケーリングし、実測周辺分布およびマルティンググール制約に一致させ、アービタージュ条件を保証する。
• 最適化にBregman射影を直接組み込むことで、コール・プライス制約を直接取り入れ、市場見積もりへの正確なフィットを実現する。
• エントロピー正則化を用いた双対定式化により、数値的安定性と高速収束を確保する。
• 離散的な時間グリッドおよび離散的なストライクを扱えるため、実際の市場データへの実装が可能である。
• Bregman射影および強い凸性の議論を用いて収束を証明し、非退化条件のもとで一意の解へのグローバル収束を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Sinkhornのアルゴリズムは、Bid-Ask見積もりおよびマルティンググール制約を満たすアービタージュのないインプライド・ボラティリティ・サーフェスを構築するために適応可能か？
• RQ2 この手法は、観測された市場オプション価格を正確にフィットさせつつ、ストライクおよびマーサリティの両方におけるアービタージュフリーをどのように保証するか？
• RQ3 提案されたアルゴリズムの収束行動はどのようなものか？ また、どのような条件下で一意の解へのグローバル収束を達成するか？
• RQ4 速度、正確性、耐障害性の観点から、従来のパラメトリック法やSVMベースの手法と比較して、本手法はどのように差をつけるか？
• RQ5 実務において、非一様な時間グリッドおよび離散的ストライク集合を扱えるように、アルゴリズムを拡張可能か？

主な発見

• 非退化条件のもとで、強い凸性およびBregman射影理論により、提案されたアルゴリズムは一意の解へのグローバル収束を示し、収束速度が保証される。
• 市場のコール・オプション価格がBid-Askスプレッド内に正確にフィットされ、市場の一貫性が保たれる。
• 得られるインプライド・ボラティリティ・サーフェスは、マルティンググールおよび周辺制約によって、カレンダーおよびバタフライ・アービタージュの両方から自由である。
• アルゴリズムは計算的に効率的かつスケーラブルであり、リアルタイムのマーケットメイキングおよびキャリブレーションタスクに適している。
• エントロピー正則化と双対性を用いた理論的収束が保証され、最適化プロセスにおける勾配不一致に明示的な境界が与えられる。
• 本手法は、希なデータやノイズの多いデータにキャリブレーションされた場合でも、メキシコ・ハット型スマイリーズのような複雑なボラティリティパターンを正確に再現できる。