[論文レビュー] Building Archimedean Space

Bogdan Stoica|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 2018

advanced mathematical theories参考文献 71被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、p進数体（p-adic fields）上の等価理論への分解を通じて、量子力学や重力といったアーケメデス的物理理論（Archimedean physical theories）を再構築する新規フレームワークを提案する。p進量子力学とブルハット＝ティッツ木（Bruhat-Tits trees）を時空の有限場（finite places）におけるアナログとして用い、実数空間の力学、特にユークリッド的およびローレンツ的AdS2重力が、分解・再構成機構を通じてp進構造から導かれることを示した。両領域間で分配関数と曲率が一致することを確認した。

ABSTRACT

I propose that physical theories defined over finite places (including $p$-adic fields) can be used to construct conventional theories over the reals, or conversely, that certain theories over the reals "decompose" over the finite places, and that this decomposition applies to quantum mechanics, field theory, gravity, and string theory, in both Euclidean and Lorentzian signatures. I present two examples of the decomposition: quantum mechanics of a free particle, and Euclidean two-dimensional Einstein gravity. For the free particle, the finite place theory is the usual free particle $p$-adic quantum mechanics, with the Hamiltonian obtained from the real one by replacing the usual derivatives with Vladimirov derivatives, and numerical coefficients with $p$-adic norms. For Euclidean two-dimensional gravity, the finite place objects mimicking the role of the spacetime are $\mathrm{SL}(\mathbb{Q}_p)$ Bruhat-Tits trees. I furthermore propose quadratic extension Bruhat-Tits trees as the finite place objects into which Lorentzian $\mathrm{AdS}_2$ decomposes, and Bruhat-Tits buildings as a natural generalization to higher dimensions, with the same symmetry group on the finite and real sides for the manifolds and buildings corresponding to the vacuum state.

研究の動機と目的

• p進数体上の理論と実数上での通常のアーケメデス的物理学との間の数学的・物理的橋渡しを確立すること。
• ユークリッド的およびローレンツ的符号の下での量子力学および重力を、p進理論の類似物から再構築できることを示すこと。
• 有限場における幾何的対象（例：SL2(Qp)のブルハット＝ティッツ木、およびその二次拡大）を、p進形式における時空のアナログとして同定すること。
• アーケメデス的理論における分配関数および曲率構造が、p進構成から得られるものと一致することを示すこと。
• 本研究で扱った場合に限らない、場理論および超弦理論へ応用可能なp進分解の一般枠組みを提案すること。

提案手法

• シュレーディンガー方程式において、標準的微分の代わりにp進微分作用素（Vladimirov derivatives）を用いてp進量子力学を定義する。
• 実数微分をバビロワ微分作用素に置き換え、実数係数をp進ノルムに置き換えることで、p進バージョンから実自由粒子ハミルトニアンを再構築する。
• 2次元ユークリッド重力における時空の有限場アナログとして、SL2(Qp)のブルハット＝ティッツ木を用い、分配関数が一致することを確認する。
• ローレンツ的AdS2をモデル化するために、Qp(√τ)の二次拡大を導入し、一様な辺長と平均作用素による定義された曲率を持つ木構造を用いる。
• アーデール上での積分公式と符号関数の文字（sign characters）を用いて、p進理論とアーケメデス的理論の構造を関連づけ、特に分配関数の一致の文脈で有効である。
• p進木構造上で線形化されたアインシュタイン方程式を用い、連続極限において対応するアーケメデス的方程式を再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 実数上での通常の量子力学は、バビロワ微分作用素とp進ノルムを用いたp進量子理論から再構築可能か？
• RQ2 アーケメデス的時空上での2次元ユークリッド重力の分配関数は、SL2(Qp)のブルハット＝ティッツ木上のp進理論のそれと一致するか？
• RQ3 ローレンツ的AdS2重力は、p進体の二次拡大とその関連木構造を用いて、有限場における時空アナログとしてモデル化可能か？
• RQ4 p進木構造上で一貫した曲率および作用量形式が定義可能であり、それが連続極限において線形化されたアインシュタイン方程式を再現するか？
• RQ5 真空中の実多様体とp進ビルディングの対称性群が一致するか？これにより、より深い双対性が示唆されるか？

主な発見

• バビロワ微分作用素とp進ノルムから構成されるp進自由粒子量子力学は、標準的な実自由粒子理論を正確に再構築できた。
• アーケメデス的時空上での2次元ユークリッド重力の分配関数は、SL2(Qp)のブルハット＝ティッツ木上のp進理論のそれと一致し、分解の妥当性が裏付けられた。
• SL2(Qp[√τ])の二次拡大によるブルハット＝ティッツ木が、ローレンツ的AdS2の有限場アナログとして提案され、曲率と作用量構造が一致した。
• p進木構造上の平均作用素により、連続極限で線形化されたアインシュタイン方程式を再現する一貫した曲率定義が得られた。
• 真空中の実多様体とp進ビルディングの対称性群が保存されており、両者の間の双対性を支持する証拠が得られた。
• アーデール上での積分公式、特に符号関数のオイラー積を含むものにより、p進理論とアーケメデス的理論の間のきめ細やかな橋渡しが実現され、特に分配関数や正規化因子の文脈で有効であった。