[論文レビュー] Buildings of classical groups and centralizers of Lie algebra elements

Paul Broussous, Shaun Stevens|ArXiv.org|Feb 13, 2004

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、古典的群 $ G $ の半単純リー代数元 $ \beta $ の中心化群 $ H $ の拡大されたブルハット＝ティッツ建物 $ I_\beta^1 $ から $ G $ の建物 $ I $ への自然でアフィン的かつ $ H $-不変な写像 $ j_\beta: I_\beta^1 \to I $ を構成し、これがモイ＝プラサのリー代数のフィルトレーションと整合することを示している。主な結果は、$ H $ が一般線形群であるか、ある技術的条件を満たす場合、$ j_\beta $ がこのフィルトレーション整合性によって一意に特徴付けられることである。

ABSTRACT

Let F_o be a non-archimedean locally compact field of residual characteristic not 2. Let G be a classical group over F_o (with no quaternionic algebra involved) which is not of type A_n for n>1. Let b be an element of the Lie algebra g of G that we assume semisimple for simplicity. Let H be the centralizer of b in G and h its Lie algebra. Let I and I_b denote the (enlarged) Bruhat-Tits buildings of G and H respectively. We prove that there is a natural set of maps j_b : I_b --> I which enjoy the following properties: they are affine, H-equivariant, map any apartment of I_b into an apartment of I and are compatible with the Lie algebra filtrations of g and h. In a particular case, where this set is reduced to one element, we prove that j_b is characterized by the last property in the list. We also prove a similar characterization result for the general linear group.

研究の動機と目的

• 非アルキメデス的局所体の文脈において、古典的群とその中心化群の拡大ブルハット＝ティッツ建物の間の函手的で自然な写像を確立すること。
• このような写像がアフィン的で、$ H $-不変であり、アパルティメントを保存し、モイ＝プラサのリー代数のフィルトレーションと整合することを証明すること。
• 一般線形群および特定の古典的群の場合に、写像 $ j_\beta $ がリー代数のフィルトレーションとの整合性によって一意に特徴付けられることを同定すること。
• 表現論におけるストラタの理論を、中心化群を介して建物とフィルトレーションに結びつけることで拡張すること。

提案手法

• 古典的群のアフィン建物のモデルにおける自己双対的格子関数を用いて、写像 $ j_\beta $ を構成する。
• ブルハット＝ティッツ建物の理論を用い、特に $ E = F[\beta] $ が体である場合に $ I_\beta^1 $ を $ V $ 上の格子関数と同一視する。
• リー代数上のモイ＝プラサのフィルトレーションを適用し、写像 $ j_\beta $ を通じて $ \mathfrak{g} $ と $ \mathfrak{h} $ のフィルトレーションを比較する。
• 中心化群 $ H $ が古典的群または一般線形群のスカラー制限の積として構造を持つことを利用し、特に $ J_+ = \emptyset $ の場合を扱う。
• 整数環において $ 2 $ が可逆であることを利用して、随伴作用による固定部分空間へのリー代数の分解を適用する。
• すべての $ r \in \mathbb{R} $ に対して $ \mathfrak{g}_{y,r} \cap \mathfrak{h} = \mathfrak{h}_{x,r} $ が成り立つことから、一意性の議論を展開し、$ y = j_\beta(x) $ を強制する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的群に対して、中心化群 $ H $ の建物から $ G $ の建物への自然で $ H $-不変かつアフィン的な写像を構成できるか？
• RQ2 このような写像は、モイ＝プラサのリー代数のフィルトレーションとの整合性によって一意に定まるか？
• RQ3 一般線形群の場合と古典的群の場合との間で、この構成はどのように異なるか？
• RQ4 体 $ E = F[\beta] $ は、中心化群の構造および写像 $ j_\beta $ の構造を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 写像 $ j_\beta $ がリー代数のフィルトレーションとの整合性によってのみ特徴付けられる条件は何か？

主な発見

• $ j_\beta: I_\beta^1 \to I $ は適切に定義されており、アフィン的で、$ H $-不変であり、$ I_\beta^1 $ のアパルティメントを $ I $ のアパルティメントに写す。
• 写像 $ j_\beta $ は、$ \mathfrak{g} $ と $ \mathfrak{h} $ のモイ＝プラサのリー代数のフィルトレーションと整合する。
• 一般線形群および楕円的元 $ \beta $ の場合、写像 $ j_\beta $ はフィルトレーション整合性によって一意に特徴付けられる。
• $ J_+ = \emptyset $ で、かつ $ \beta $ に対して技術的条件を満たす古典的群では、写像 $ j_\beta $ は同様にフィルトレーション整合性によって一意に特徴付けられる。
• $ J_+ = \emptyset $ の場合、$ j_\beta $ は常にフィルトレーション整合性によって一意に特徴付けられるという予想が提示される。
• 反例により、(a)〜(c) の性質だけでは古典的群における $ j_\beta $ が特徴付けられないことが示され、一意性のためにはフィルトレーション整合性の必要性が強調される。