[論文レビュー] $C_0$-semigroups and resolvent operators approximated by Laguerre expansions

Luciano Abadías, Pedro J. Miana|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2013

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 18被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、バナッハ空間における $C_0$-半群および解像作用素の近似に、ベクトル値関数のラゲール展開を用いる新しい手法を提案する。この展開の収束性はラプラス変換および関数計算を用いて確立され、初期データの正則性および半群の正則性の種別に応じて最適な $L^p$ および作用素ノルムの収束速度が得られる。

ABSTRACT

In this paper we introduce Laguerre expansions to approximate vector-valued functions expanding on the well-known scalar theorem. We apply this result to approximate $C_0$-semi\-groups and resolvent operators in abstract Banach spaces. We study certain Laguerre functions, its Laplace transforms and the convergence of Laguerre series in Lebesgue spaces. The concluding section of this paper is devote to consider some examples of $C_0$-semigroups: shift, convolution and holomorphic semigroups where some of these results are improved.

研究の動機と目的

• スカラー関数に対するラゲール展開定理を、抽象的なバナッハ空間におけるベクトル値関数へと拡張すること。
• ラゲール多項式を用いた関数計算の枠組みを構築し、$C_0$-半群および解像作用素の近似を行うこと。
• 特に正則および微分可能な半群に対して、$C_0$-半群のラゲール級数近似の収束速度を導出すること。
• ヨシダ、トロッター＝カトウ、およびパデ近似といった既存の近似法を、ラゲール級数表現を活用することで改善すること。

提案手法

• 著者らは、一般化ラゲール多項式 $L_n^{(\beta)}(t)$ 及びそれらに関連する重み関数 $e^{-t}t^{\beta}$ を用い、$L^p(\mathbb{R}_+)$ 上の直交展開を定義する。
• 彼らは、定理 3.3 において、$X$-値関数に対する、ウスピェンスキーの定理のベクトル値版を確立し、ラゲール級数の点収束および $L^p$ 収束を証明する。
• 主な技術的アプローチは、関数計算を用いて $C_0$-半群を $T(t)x = \sum_{n=0}^\infty A^n(A+1)^{-n-\alpha-1}x \, L_n^{(\alpha)}(t)$ と表現することにある。
• ラゲール関数のラプラス変換を用いて、展開核の $L^p$ ノルムを分析し、ノルム推定を可能にする。
• 正則半群（タイプ $HG_\beta$）に対して、$\|A^n(A+1)^{-n-\alpha-1}\| \leq C_{\alpha,\beta}/n^{\alpha+1}$ の減衰推定を導出する。
• 正則性および成長の仮定の下で、部分和の $T(t)x$ への収束速度が $O(m^{-\alpha/2})$ であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ベクトル値関数に対するラゲール展開は、バナッハ空間に拡張可能か？また、どのような条件下で収束するか？
• RQ2 関数計算を用いて、$C_0$-半群および解像作用素をラゲール級数でどのように表現できるか？
• RQ3 $C_0$-半群のラゲール級数近似の収束速度は何か？また、初期データの正則性にどのように依存するか？
• RQ4 このラゲールに基づく近似法は、ヨシダ近似やパデ近似といった既存手法に比べ、収束速度の面で改善できるか？

主な発見

• ベクトル値ラゲール展開 $\sum_{n=0}^\infty c_n(f) L_n^{(\alpha)}(t)$ は、$f:(0,\infty)\to X$ で $f \in L^2(\mathbb{R}_+, e^{-t}t^{\alpha}dt; X)$ を満たすとき、$f(t)$ に内挿的に収束する。これはスカラー結果をバナッハ空間へ一般化するものである。
• 正則 $C_0$-半群（タイプ $HG_\beta$）に対して、作用素ノルムは $\|A^n(A+1)^{-n-\alpha-1}\| \leq C_{\alpha,\beta}/n^{\alpha+1}$ を満たし、$\alpha > 0$ である。
• ラゲール級数の最初の $m$ 項による $T(t)x$ の近似誤差は、$C_{\alpha,\beta,t} \|x\| / m^{\alpha/2}$ で有界であり、$O(m^{-\alpha/2})$ の収束速度が示された。
• この手法は、生成作用素のスペクトル的性質を関数計算を通じて活用する級数表現を提供するため、古典的手法を改善する。
• 本稿では、シフト、畳み込み、および正則半群（例：ポアソンおよびガウス半群）の明示的展開を提供し、係数はウィッタッカー関数を用いて表現される。
• $L^p$-関数（$4/3 < p < 4$）に対して、部分和 $S_n(f)$ は $L^p$ ノルムで $f$ に収束することが確認され、ルベーグ空間における展開の安定性が裏付けられた。