[論文レビュー] $C^{1,\alpha}$ regularity for the normalized $p$-Poisson problem

Amal Attouchi, Mikko Parviainen+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、viscosity解および弱解の手法を用いて、$Ω \subset \mathbb{R}^n$ 内の正規化$p$-Poisson方程式 $-\Delta_p^N u = f$ の $C^{1,\beta}$ 正則性を確立する。$f \in L^\infty \cap C$ のとき、解は $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}$ であり、$\alpha > 0$ である。$p > 2$ で $f \in L^q \cap C$ かつ $q > \max(n, p/2, 2)$ のとき、$p$-調和関数の最適指数 $\alpha_0$ に近いほぼ最適な $C^{1,\alpha_0 - \xi}$ 正則性が達成される。

ABSTRACT

We consider the normalized $p$-Poisson problem $$-\\Delta^N_p u=f \\qquad \ ext{in}\\quad \\Omega.$$ The normalized $p$-Laplacian $\\Delta_p^{N}u:=|D u|^{2-p}\\Delta_p u$ is in non-divergence form and arises for example from stochastic games. We prove $C^{1,\\alpha}_{loc}$ regularity with nearly optimal $\\alpha$ for viscosity solutions of this problem. In the case $f\\in L^{\\infty}\\cap C$ and $p>1$ we use methods both from viscosity and weak theory, whereas in the case $f\\in L^q\\cap C$, $q>\\max(n,\\frac p2,2)$, and $p>2$ we rely on the tools of nonlinear potential theory.

研究の動機と目的

• 正規化$p$-Poisson方程式 $-\Delta_p^N u = f$ のviscosity解の局所的 $C^{1,\alpha}$ 正則性を確立すること。
• 非発散型形式および勾配依存性を特徴とする正規化$p$-Laplacianに特化した新しい手法を構築し、古典理論から得られる勾配の Hölder 連続性を超えた正則性結果を拡張すること。
• 適切な可積分性および連続性の仮定の下で、$p$-調和関数の既知の最適指数 $\alpha_0$ に近いほぼ最適な Hölder 正則性を勾配に対して達成すること。
• 特に $p > 2$ で $f \in L^q$ かつ $q > \max(n, p/2, 2)$ の場合に、viscosity解理論と弱解理論、非線形ポテンシャル推定を統合すること。

提案手法

• 正規化$p$-Poisson方程式の修正版に対して平坦性の改善を用いるアプローチを採用し、反復的精錬によって $C^{1,\alpha}$ 正則性を確立する。
• $p > 1$ および $f \in L^\infty \cap C$ の場合、viscosity理論と弱解推定を組み合わせ、$C^{1,\alpha}_{\text{loc}}$ 正則性を示す。
• $p > 2$ および $f \in L^q \cap C$ で $q > \max(n, p/2, 2)$ の場合、DuzaarとMingione [DM10] のポテンシャル推定を適用して振動を制御し、正則性を導出する。
• 近似技術に依存し、勾配が小さいとき、viscosity解が $C^{1,\alpha}$ 範囲で $p$-調和関数によって近似可能であることを示す。
• スケーリングと反復を用いて振動推定を得る。特に $|Du|$ が小さい領域で有効である。
• 解の一意性と安定性を示す証明において、viscosity副解および超解の和の定理を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $f$ が有界かつ連続である場合、正規化$p$-Poisson方程式のviscosity解に対して $C^{1,\alpha}$ 正則性を確立できるか？
• RQ2 $f$ が低い可積分性 $f \in L^q$（$q > \max(n, p/2, 2)$）を満たす場合、$p > 2$ のときどのような正則性が達成できるか？
• RQ3 正規化$p$-Poisson方程式の解の正則性は、$p$-調和関数の既知の最適指数 $C^{1,\alpha_0}$ に近いか？
• RQ4 非発散型形式および勾配依存性を有する正規化$p$-Laplacianを取り扱うために、viscosity解理論を弱解法およびポテンシャル推定とどのように統合できるか？

主な発見

• $p > 1$ および $f \in L^\infty(\Omega) \cap C(\Omega)$ のとき、方程式 $-\Delta_p^N u = f$ の任意のviscosity解 $u$ は、ある $\alpha = \alpha(p,n) > 0$ に対して $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ に属し、$p$, $n$, $\|u\|_{L^\infty}$, $\|f\|_{L^\infty}$ に依存する定量的 Hölder 半ノルム推定が得られる。
• $p > 2$ および $f \in L^q(\Omega) \cap C(\Omega)$ で $q > \max(n, p/2, 2)$ のとき、viscosity解は $C^{1,\alpha}_{\text{loc}}(\Omega)$ に属し、$\alpha = \min(\alpha_0 - \xi, 1 - n/q)$ である。ここで $\alpha_0$ は $p$-調和関数の最適指数である。
• 正則性結果はほぼ最適である。任意の $\xi \in (0, \alpha_0)$ に対して、解は $C^{1,\alpha_0 - \xi}_{\text{loc}}(\Omega)$ に属する。これは、既知の $p$-調和関数の最適指数に近づく。
• 証明により、(1.1) のviscosity解は $-\Delta_p u = |Du|^{p-2}f$ の弱解であることが示され、$p > 2$ のとき、既知の非線形楕円型PDE理論から $C^{1,\alpha}$ 正則性を継承する。
• 定量的 $C^{1,\alpha}$ 半ノルム推定が提供される：$[u]_{C^{1,\alpha}(\Omega'')} \leq C(p, q, n, d, d'', \|u\|_{L^\infty}, \|f\|_{L^q})$ である。ここで $d = \text{diam}(\Omega)$ および $d'' = \text{dist}(\Omega^{\prime\prime}, \partial\Omega^\prime)$ である。
• 条件 $\lambda > 0$ の下で、副解および超解の方法と和の定理を用いて、関連する楕円型問題のviscosity解の一意性が証明される。