[論文レビュー] C*-algebras associated to topological Ore semigroups

S. Sundar|arXiv (Cornell University)|Aug 19, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、互いに可換な最終射影をもつ位相的オーレ半群の等長表現に対して、普遍的群oids C*-代数を構成する。普遍的スペクトラム $\Omega_u$ に群oids $\Omega_u \rtimes P$ を関連させることで、$C^*(\Omega_u \rtimes P)$ から Wiener-Hopf 代数 $\mathcal{W}_V(P,G)$ への全射 $*$-準同型を確立し、Coburn の定理を一般化するとともに、Wiener-Hopf 代数と Toeplitz 代数を一つの群oids枠組みで統一する。

ABSTRACT

Let $G$ be a locally compact group and $P \subset G$ be a closed Ore semigroup containing the identity element. Let $V: P o B(\clh)$ be a representation such that for every $a \in P$, $V_{a}$ is an isometry and the final projections of $\{V_{a}: a \in P\}$ commute. In this article, we study the $C^{*}$-algebra $\mathcal{W}_{V}(P,G)$, generated by $\{\int f(a)V_{a} da: f \in L^{1}(P)\}$. We show that there exists a universal $C^{*}$-algebra, which admits a groupoid description, of which $\mathcal{W}_{V}(P,G)$ is a quotient. If $P=G$, then this universal algebra is just $C^{*}(G)$.

研究の動機と目的

• 位相的オーレ半群と互いに可換な最終射影をもつ場合に、Wiener-Hopf 代数と Toeplitz C*-代数を一般化すること。
• 等長表現と互いに可換な範囲射影をもつすべての表現を普遍的に符号化する、還元された $C^*(\Omega_u \rtimes P)$ をもつ普遍的群oids $\Omega_u \rtimes P$ を構成すること。
• 既知の結果を連続的設定に拡張するため、$C^*(\Omega_u \rtimes P)$ から Wiener-Hopf 代数 $\mathcal{W}_V(P,G)$ への全射 $*$-準同型を確立すること。
• 四分円や実数の半直線の例を含め、離散的および連続的ケースを一つの群oids構成により統一すること。

提案手法

• $\Omega_u$ を、$P^{-1} \subset A$ かつ $P^{-1}A \subset A$ を満たす閉集合 $A \subset G$ の空間と定義し、ヴィエトリス位相を備える。
• $P$ の右作用（右乗法）を $\Omega_u$ に導入し、半直積群oids $\Omega_u \rtimes P$ を形成する。
• Renault と Sims (2015) の結果を用いて、$\Omega_u \rtimes P$ がハール系をもつことを示し、正規表現の存在を保証する。
• $f \in C_c(G)$ に対して $\lambda(\widetilde{f}) = \int \Delta(g)^{-1/2} f(g) W_{g^{-1}} dg$ で定義される表現 $\lambda: C^*(\Omega_u \rtimes P) \to B(\mathcal{H})$ を定義する。
• $\lambda$ の像が $\mathcal{W}_V(P,G)$ を生成することを証明し、普遍性を確立する。
• 互いに可換な最終射影 $E_a = V_a V_a^*$ の構造を用いてスペクトラム $\Omega$ を定義し、制限を介して $\Omega_u$ と関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最終射影が可換であるとき、位相的オーレ半群の Wiener-Hopf 代数は、群oids C*-代数として実現可能か？
• RQ2 すべての等長表現と互いに可換な範囲射影をパラメトライズする普遍的群oids $\Omega_u \rtimes P$ が存在するか？
• RQ3 普遍的群oids $\Omega_u \rtimes P$ は、Toeplitz 代数および古典的 Wiener-Hopf 代数をどのように一般化するか？
• RQ4 モジュラー関数 $\Delta(g)$ は、普遍的表現公式においてどのような役割を果たすか？
• RQ5 群oids $\Omega_u \rtimes P$ はハール系をもつのか？ それにより、well-defined な群oids C*-代数の構成が可能か？

主な発見

• $\Omega_u \rtimes P$ はハール系をもつ位相的群oidsであり、well-defined な正規表現の存在を保証する。
• $f \in C_c(G)$ に対して $\lambda(\widetilde{f}) = \int \Delta(g)^{-1/2} f(g) W_{g^{-1}} dg$ を満たす全射 $*$-準同型 $\lambda: C^*(\Omega_u \rtimes P) \to \mathcal{W}_V(P,G)$ が存在し、既知の公式を一般化する。
• $\lambda$ の像が $\mathcal{W}_V(P,G)$ を生成することを示し、$C^*(\Omega_u \rtimes P)$ が互いに可換な最終射影をもつ等長表現に対して普遍的であることを証明する。
• $P = \mathbb{N}$ の場合、$\Omega_u \cong \mathbb{N}_\infty$ であり、$C^*(\Omega_u \rtimes P)$ は Toeplitz 代数と同型である。これにより Coburn の定理が回復される。
• $P = \mathbb{R}_+$ の場合、$\Omega_u \cong [0,\infty]$ であり、$C^*(\Omega_u \rtimes P)$ は古典的 Wiener-Hopf 代数と同型である。
• この構成により、Wiener-Hopf 代数が $C^*(\Omega_u \rtimes P)$ の商であることが示され、$\Omega_u$ が大きく非明示的であっても普遍性が保たれる。