[論文レビュー] $C^*$-algebras generated by projective representations of free nilpotent groups

Tron Omland|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2013

Advanced Operator Algebra Research被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、階数 $n$ のクラス 2 の自由冪零群の2次コホモロジー群を計算し、そのねじれ付き群 $C^*$-代数が非可換 $n$-トーラスをファイバーとする $\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$ 上の連続的場に同型であることを示している。これらの $C^*$-代数の単純性の条件を確立し、コホモロジー上に $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ と $V(n)^n$ の自己同型群作用を特定し、同型不変量を提供するとともに $K$-理論分類と関連づけている。

ABSTRACT

We compute the two-cocycles (or multipliers) of the free nilpotent groups of class $2$ and rank $n$ and give conditions for simplicity of the corresponding twisted group $C^*$-algebras. These groups are representation groups for $\mathbb{Z}^n$ and can be considered as a family of generalized Heisenberg groups with higher-dimensional center. Their group $C^*$-algebras are in a natural way isomorphic to continuous fields over $\mathbb{T}^{\frac{1}{2}n(n-1)}$ with the noncommutative $n$-tori as fibers. In this way, the twisted group $C^*$-algebras associated with the free nilpotent groups of class $2$ and rank $n$ may be thought of as "second order" noncommutative $n$-tori.

研究の動機と目的

• 階数 $n$ のクラス 2 の自由冪零群 $G(n)$ に対して、第二コホモロジー群 $H^2(G(n), \mathbb{T})$ を計算すること。
• 2次コサイクル $\sigma$ に付随するねじれ付き群 $C^*$-代数 $C^*(G(n), \sigma)$ の構造を特徴づけ、特にその単純性を特定すること。
• $\mathrm{Aut}(G(n))$ が $H^2(G(n), \mathbb{T})$ 上に作用する様子を記述し、ねじれ付き $C^*$-代数の同型不変量を導出すること。
• $C^*(G(n), \sigma)$ が非可換 $n$-トーラスをファイバーとする $\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$ 上の連続的場として実現可能であることを示し、ハイゼンベルク群の場合の一般化を達成すること。

提案手法

• 群 $G(n)$ を半直積として分解し、2次コサイクルの計算にマッケイの誘導表現技法を適用する。
• 行列 $T \in \mathrm{Mat}_{n \times n}(\mathbb{Z})$ による2次コサイクルの明示的パラメトライゼーションを用い、$H^2(G(n), \mathbb{T}) \cong \mathbb{T}^{n(n-1)(n+1)/6}$ を得る。
• 群の構造に由来する関係を満たすユニタリ生成元からなる普遍的 $C^*$-代数として $C^*(G(n), \sigma)$ を構成する。
• $C^*(G(n), \sigma)$ が $H^2(G(n), \mathbb{T}) \cong \mathbb{T}^{n(n-1)(n+1)/6}$ 上の連続的場に同型であり、ファイバーが非可換 $n$-トーラスであることを確立する。
• $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$ による $H^2(G(n), \mathbb{T})$ 上の作用を、写像 $A \mapsto \widetilde{A}$ で定義し、ここで $\widetilde{A}_{jk,lm} = \det\begin{pmatrix} a_{jk} & a_{jl} \\ a_{lk} & a_{ll} \end{pmatrix}$ である。$\varphi \in V(n)^n$ に対して $\sigma_\varphi \sim \sigma$ が成り立つことを証明し、単位的部の作用が自明であることを示す。
• パッカーとレーブァーンのホモトピーおよび $K$-理論に関する結果を応用し、$K_i(C^*(G(n), \sigma)) \cong K^{i + n(n-1)/2}_{\text{top}}(G(n,\mathbb{R})/G(n))$ を示し、$C^*$-代数をUCTクラス内に分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 階数 $n$ でクラス 2 の自由冪零群 $G(n)$ に対して、第二コホモロジー群 $H^2(G(n), \mathbb{T})$ の構造は何か？
• RQ2 ねじれ付き群 $C^*$-代数 $C^*(G(n), \sigma)$ が単純となる条件は何か？
• RQ3 $\mathrm{Aut}(G(n))$ は $H^2(G(n), \mathbb{T})$ 上にどのように作用するか？ その結果得られる $C^*(G(n), \sigma)$ の同型不変量は何か？
• RQ4 $C^*(G(n), \sigma)$ は非可換 $n$-トーラスをファイバーとする $\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$ 上の連続的場として実現可能か？ また、ハイゼンベルク群の場合への一般化はどのように達成されるか？
• RQ5 $C^*$-代数 $C^*(G(n), \sigma)$ は $K$-理論によって分類可能か？ また、普遍係数定理はこの分類においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 第二コホモロジー群は $H^2(G(n), \mathbb{T}) \cong \mathbb{T}^{n(n-1)(n+1)/6}$ として計算され、$n \times n$ の歪対称整数行列によって明示的にパラメトライズされた2次コサイクルが得られる。
• ねじれ付き群 $C^*$-代数 $C^*(G(n), \sigma)$ は、非可換 $n$-トーラスをファイバーとする $\mathbb{T}^{n(n-1)/2}$ 上の連続的場に同型であり、ハイゼンベルク群の場合の一般化である。
• $C^*(G(n), \sigma)$ が単純であるための必要十分条件は、補題 4.8 における関連行列 $T$ がフルランク $n$ を持つことである。これにより、非自明な中心的 $\sigma$-正則元が存在しないことが保証される。
• $V(n)^n \subset \mathrm{Aut}(G(n))$ による $H^2(G(n), \mathbb{T})$ 上の作用は自明であり、すべての $\varphi \in V(n)^n$ に対して $\sigma_\varphi \sim \sigma$ が成り立つ。したがって、この自己同型群の部分は同型類を区別しない。
• $\mathrm{GL}(n,\mathbb{Z})$-作用は $A \cdot T = A T \widetilde{A}$ で与えられ、$A \cdot T = T'$ ならば $C^*(G(n), \sigma) \cong C^*(G(n), \sigma')$ が成り立つ。これは同型の十分条件を提供する。
• $n=2$ の場合、$\mathrm{GL}(2,\mathbb{Z})$-作用は同型類を分類するのに十分であるが、$n \geq 3$ の場合、軌道が同型型を分類するかどうかは未解決の問題のままである。