[論文レビュー] c horizontal convexity on Carnot groups

Andrea Calogero, R. Pini|arXiv (Cornell University)|May 6, 2010

Point processes and geometric inequalities被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、水平構造上のc依存性アフィン関数を用いた上界表現を通じて、古典的凸性を一般化する、カルノー群上での新しい概念であるc水平凸性（c H-凸性）を導入する。主な貢献は、c H-凸関数が局所的にH-下半凸であり、ほとんど everywhere で水平微分を有し、非空なc H-部分微分とc H-循環単調性によって完全に特徴づけられることであり、これによりロッカフェラー型の回復が可能となり、ヘイゼンベルク群の枠組みにおける最適輸送に応用可能となる。

ABSTRACT

Given a real-valued function $c$ defined on the cartesian product of a generic Carnot group $\G$ and the first layer $V_1$ of its Lie algebra, we introduce a notion of $c$ horizontal convex ($c$ H-convex) function on $\G$ as the supremum of a suitable family of affine functions; this family is defined pointwisely, and depends strictly on the horizontal structure of the group. This abstract approach provides $c$ H-convex functions that, under appropriate assumptions on $c,$ are characterized by the nonemptiness of the $c$ H-subdifferential and, above all, are locally H-semiconvex, thereby admitting horizontal derivatives almost everywhere. It is noteworthy that such functions can be recovered via a Rockafellar technique, starting from a suitable notion of $c$ H-cyclic monotonicity for maps. In the particular case where $c(g,v)=< ξ_1(g),v >,$ we obtain the well-known weakly H-convex functions introduced by Danielli, Garofalo and Nhieu. Finally, we suggest a possible application to optimal mass transportation.

研究の動機と目的

• G × V₁ 上に定義された一般のコスト関数cを用いて、G 上のc水平凸（c H-凸）関数と呼ばれる関数の新クラスを導入することで、カルノー群における古典的凸性を一般化すること。
• c H-凸関数が局所的にH-下半凸であり、ほとんど everywhere で水平微分を有することを確立し、解析に十分な正則性を保証すること。
• c H-凸関数がそのc H-部分微分が非空であることによって完全に特徴づけられることを示し、ユークリッド空間におけるロッカフェラーの双対枠組みを部分リーマン幾何に拡張すること。
• c H-凸関数がc H-循環単調な写像から回復可能であることを示し、凸解析における古典的結果を模倣すること。
• ヘイゼンベルク群における最適輸送への応用を提示する。c H-凸族とその部分微分を用いて「ポテンシャル」関数を構成することで実現する。

提案手法

• c H-凸関数を、g ↦ c(g, v) + α の形をしたc依存性アフィン関数の点ごとの上界として定義する。ここでv ∈ V₁、α ∈ ℝであり、関数を水平曲線に沿って支えるような (v, α) の族によってインデックス化する。
• c H-部分微分 ∂ₕᶜf(g) を、すべてのg' ∈ Gに対してf(g') ≥ c(g', v) + α を満たす (v, α) の集合として定義する。これにより、水平的状況における一般化された部分勾配の概念を導入する。
• c H-凸関数が局所的にH-下半凸であることを示し、カルノー群の内在的な水平構造を用いて、ほとんど everywhere で水平微分が存在することを保証する。
• c H-凸性が関連する部分微分写像のc H-循環単調性と同値であることを証明する。これにより、ロッカフェラーの定理が部分リーマン的文脈へと拡張される。
• 定理6.2を用いて、c H-循環単調な写像Tから局所的c H-凸関数の族{ψ_g}を構成する。これにより、局所的正則性とほとんど everywhere での単値性が保証される。
• 局所的部分微分の共通部分としてグローバルなポテンシャルを定義する：∂ₕᶜΨ(g) = ⋂_{g' ∈ dom(ψ_g')} ∂ₕᶜψ_g'(g)。これにより、最適輸送写像s*がほとんど surely で回復可能となる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 G × V₁ 上に定義された一般コスト関数cを用いて、カルノー群における古典的凸性をどのように一般化できるか？
• RQ2 c H-凸関数が局所的にH-下半凸であり、ほとんど everywhere で水平微分を有するための条件は何か？
• RQ3 c H-凸関数は、ユークリッド空間におけるロッカフェラーの特徴づけと同様に、そのc H-部分微分が非空であることによって完全に特徴づけられるか？
• RQ4 多価写像のc H-循環単調性が、c H-凸ポテンシャル関数の存在をどの程度まで示唆するか？
• RQ5 c H-凸性の理論を、ヘイゼンベルク群における最適輸送写像の構成にどのように応用できるか？

主な発見

• c H-凸関数は局所的にH-下半凸であり、群上ほとんど everywhere で水平微分が存在することが保証される。
• c H-凸関数のc H-部分微分は、定義域のすべての点で非空である。これは古典的凸関数における部分微分の非空性の結果を一般化する。
• c H-凸関数はロッカフェラー型の定理により、そのc H-部分微分から回復可能であり、関数とその部分微分の間の双対性を確立する。
• c H-凸性は、関連する部分微分写像のc H-循環単調性と同値である。これは凸解析における根本的結果を拡張する。
• 適切に選ばれたc H-凸関数の族{ψ_g}を構成でき、その部分微分が適切に交わるようにできる。これにより、グローバルなポテンシャル∂ₕᶜΨ(g)を定義でき、最適輸送写像を特徴づける。
• 最適輸送写像s*は、ほとんど surely で s*(g) = g exp( (𝕏c(g,·))⁻¹(𝕏Ψ(g)) − ξ₁(g) ) と与えられる。ここで𝕏Ψ(g)はポテンシャル族の水平微分である。