[論文レビュー] C^m Eigenfunctions of Perron-Frobenius Operators and a New Approach to Numerical Computation of Hausdorff Dimension

Richard S. Falk, Roger D. Nussbaum|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2016

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 25被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、反復関数系（IFS）における不変集合のハウスドルフ次元を計算するための新規な数値的手法を提示する。この手法は、Perron-Frobenius作用素の $C^m$ 固有関数を分析することで、パラメータ化された移動作用素のスペクトル半径 $\lambda_s$ を $C^k$ 空間における区分的線形関数を用いたコロケーション法で厳密に評価する。ハウスドルフ次元 $s_*$ は、$\lambda_s = 1$ を満たす唯一の $s$ として特定され、メッシュサイズが小さくなるに従って収束し、誤差の上限が保証される。

ABSTRACT

We develop a new approach to the computation of the Hausdorff dimension of the invariant set of an iterated function system or IFS. In the one dimensional case, our methods require only C^3 regularity of the maps in the IFS. The key idea, which has been known in varying degrees of generality for many years, is to associate to the IFS a parametrized family of positive, linear, Perron-Frobenius operators L_s. The operators L_s can typically be studied in many different Banach spaces. Here, unlike most of the literature, we study L_s in a Banach space of real-valued, C^k functions, k >= 2; and we note that L_s is not compact, but has a strictly positive eigenfunction v_s with positive eigenvalue lambda_s equal to the spectral radius of L_s. Under appropriate assumptions on the IFS, the Hausdorff dimension of the invariant set of the IFS is the value s=s_* for which lambda_s =1. This eigenvalue problem is then approximated by a collocation method using continuous piecewise linear functions (in one dimension) or bilinear functions (in two dimensions). Using the theory of positive linear operators and explicit a priori bounds on the derivatives of the strictly positive eigenfunction v_s, we give rigorous upper and lower bounds for the Hausdorff dimension s_*, and these bounds converge to s_* as the mesh size approaches zero.

研究の動機と目的

• IFSにおける不変集合のハウスドルフ次元を、保証された誤差上限を伴う厳密な数値手法で計算すること。
• 解析的空間や $L^p$ 空間にとどまらず、$k \geq 2$ に対して $C^k$ 関数空間においてPerron-Frobenius作用素を研究することで、その応用を拡張すること。
• 数値近似の収束を保証するため、正の固有関数の導関数に対する明示的な事前評価を提供すること。
• $C^3$ の正則性条件下で、ハウスドルフ次元 $s_*$ が、スペクトル半径 $\lambda_s = 1$ を満たす唯一の $s$ に一致することを確立すること。
• 連続な区分的線形または双線形関数を用いたコロケーション法を設計し、$s_*$ に対する収束する上界と下界を生成すること。

提案手法

• 本手法は、$C^k(\bar{H})$ 空間に作用するパラメータ化された正の線形Perron-Frobenius作用素 $L_{s,k}$ の族を用いる。定義は $ (L_{s,k}f)(x) = \sum_{j=1}^m [b_j(x)]^s f(\theta_j(x)) $ であり、1次元では $b_j(x) = |\theta_j'(x)|$ である。
• スペクトル半径 $\lambda_s = r(L_{s,k})$ は、メッシュ上での連続な区分的線形（1次元）または双線形（2次元）関数を用いたコロケーション法により数値的に計算される。
• 近似誤差を制御し、$s_*$ の境界の収束を保証するために、正の固有関数 $v_s$ の導関数に対する事前評価が導出される。
• 正の線形作用素の理論とKreĭn-Rutman定理を活用して、正の固有関数 $v_s$ 及びその固有値 $\lambda_s$ の存在と一意性を確立する。
• ハウスドルフ次元 $s_*$ は、$\lambda_s = 1$ を満たす唯一の $s$ として特定され、コロケーションスキームにより、$s_*$ に対する厳密な上界と下界が得られる。
• 離散近似行列 $M_s$ のスペクトル半径 $r(M_s)$ が $s$ に関して対数凸であることを、Kingmanの定理を用いて証明し、セカント法に基づく根の探索の高速収束を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $L^p$ や解析的空間ではなく、$C^k$ 関数空間を用いることで、IFSの不変集合のハウスドルフ次元を誤差上限を保証して計算できるか。
• RQ2 $C^k$ 空間における区分的線形関数に基づくコロケーション法が、スペクトル半径 $\lambda_s$ に対して収束する上界と下界をどのように得られるか。
• RQ3 Perron-Frobenius作用素 $L_s$ のスペクトル半径 $\lambda_s$ が、ハウスドルフ次元 $s_*$ で $\lambda_s = 1$ を満たすために必要な条件は何か。
• RQ4 数値近似誤差を制御するため、正の固有関数 $v_s$ の導関数に対する明示的な事前評価を導出可能か。
• RQ5 離散近似行列 $M_s$ のスペクトル半径 $r(M_s)$ は、$s$ に関して対数凸のままであるか。これにより、根の探索アルゴリズムの収束が高速化されるか。

主な発見

• 1次元のIFSの不変集合のハウスドルフ次元 $s_*$ は、IFSの写像が $C^3$ であり、適切な収縮条件および導関数が消えない条件を満たす限り、$\lambda_s = 1$ を満たす唯一の $s$ に一致する。
• $k \geq 2$ に対して $C^k(\bar{H})$ に作用するPerron-Frobenius作用素 $L_{s,k}$ は、正の固有関数 $v_s$ と固有値 $\lambda_s = r(L_{s,k})$ を持ち、$\lambda_s$ は $k$ に依存しない。
• 区分的線形関数を用いたコロケーションにより、$s_*$ に対する厳密な上界と下界が得られ、メッシュサイズがゼロに近づくにつれて $s_*$ に収束する。
• $M_s$ を $L_s$ の離散行列近似とするとき、$s \mapsto r(M_s)$ は対数凸であるため、セカント法に基づく根の探索が超線形収束を示す。
• 本手法は有限および無限のIFSに適用可能であり、$C^3$ 正則性を含む弱い正則性仮定のもとで収束が保証される。
• 熱力学的形式主義を避けており、解析的条件を必要としないため、従来の手法よりも広いクラスのIFSに適用可能である。