[論文レビュー] C*-Multipliers, crossed product algebras, and canonical commutation relations

Jan Naudts|ArXiv.org|Jul 9, 1999

Advanced Operator Algebra Research参考文献 10被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、群の乗数の概念を任意のC*-代数に値をとるC*-乗数へ一般化し、連続的かつcompactlyなA値関数の空間への群の射影的作用を導入する。C*-乗数とこのような射影的作用の間には一対一対応が確立され、ねじれ付き群代数とクロス積代数の構成が統一される。主な結果は、クロス積代数の乗数代数が、C*-乗数に関して標準的交換関係を満たすWeyl作用素を含むことであり、量子時空間に応用される。

ABSTRACT

The notion of a multiplier of a group X is generalized to that of a C*-multiplier by allowing it to have values in an arbitrary C*-algebra A. On the other hand, the notion of the action of X in A is generalized to that of a projective action of X as linear transformations of the space of continuous functions with compact support in X and with values in A. It is shown that there exists a one-to-one correspondence between C*-multipliers and projective actions. C*-multipliers have been used to define twisted group algebras. On the other hand, the projective action tau can be used to construct the crossed product algebra A x_tau X. Both constructions are unified in the present approach. The results are applicable in mathematical physics. The multiplier algebra of the crossed product algebra A x_tau X contains Weyl operators {W(x),x in X}. They satisfy canonical commutation relations w.r.t. the C*-multiplier. Quantum spacetime is discussed as an example.

研究の動機と目的

• 群の乗数の概念を任意のC*-代数に値をとるC*-乗数へ一般化すること。
• C*-代数への群作用の概念を、C*-代数値関数の空間への射影的作用へ拡張すること。
• C*-乗数とこのような射影的作用の間の一対一対応を確立すること。
• ねじれ付き群代数とクロス積代数の構成を、同一の枠組み内で統一すること。
• この枠組みが量子物理学への適用可能性を示し、特に非可換時空間におけるWeyl作用素による標準的交換関係の実現に応用されること。

提案手法

• 群XからC*-代数Aへの写像としてC*-乗数を定義し、標準的な乗数を一般化する。
• X上の連続的かつcompactlyなA値関数の空間への線形変換の族として、Xの射影的作用を導入する。
• コサイクルを用いた構成を通じて、C*-乗数と射影的作用の間の双対的対応を確立する。
• 射影的作用を用いて、標準的なクロス積構成を一般化したクロス積代数A ×_τ Xを定義する。
• A ×_τ Xの乗数代数が、{W(x) | x ∈ X}という形のWeyl作用素の族を含み、C*-乗数に関して標準的交換関係を満たすことを示す。
• 量子時空間に応用するため、Weyl作用素を非可換時空間におけるCCRを実現するものとして実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群乗数の古典的概念を、任意のC*-代数に値をとる形にどのように一般化できるか？
• RQ2 C*-代数への群作用の概念を、C*-代数値関数の空間への作用へどのように拡張できるか？
• RQ3 C*-乗数とこのような一般化された射影的作用の間に一対一対応が存在するか？
• RQ4 ねじれ付き群代数とクロス積代数の構成が、この枠組み内で統一可能か？
• RQ5 クロス積代数の乗数代数から、標準的交換関係を満たすWeyl作用素はどのように生じるか？

主な発見

• C*-代数A値の連続的かつcompactlyな関数の空間への群Xの射影的作用とC*-乗数の間には一対一対応が確立された。
• 射影的作用τから構成されたクロス積代数A ×_τ Xは、その乗数代数にWeyl作用素の族{W(x) | x ∈ X}を含む。
• これらのWeyl作用素はC*-乗数に関して標準的交換関係を満たし、量子力学における標準的Weyl関係を一般化する。
• この枠組みにより、ねじれ付き群代数とクロス積代数の両方の構成が、同一の構造的基盤に基づいて統一された。
• この構成は量子時空間に応用され、C*-乗数が非可換時空間の対称性を符号化し、Weyl作用素がこの設定において標準的交換関係を実現する。
• 結果はC*-代数論の文脈で形式的に述べられ、証明され、特に非可換空間上の量子場理論の代数的定式化への応用を含む数学的物理に応用される。