[論文レビュー] C-projective geometry

David M. J. Calderbank, Michael G. Eastwood+2 more|Dec 14, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 89被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、実射影微分幾何の複素類似としてc射影幾何を展開し、それが自然なCartan接続を備えた放物幾何として確立されることを示した。完全なケーラー多様体に対するYano–Obata予想が証明された：このような多様体が非アフィンな1パラメータ群のc射影変換をもつならば、Fubini–Study計量の定数倍を備えた複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ でなければならない。

ABSTRACT

We develop in detail the theory of c-projective geometry, a natural analogue of projective differential geometry adapted to complex manifolds. We realise it as a type of parabolic geometry and describe the associated Cartan or tractor connection. A Kaehler manifold gives rise to a c-projective structure and this is one of the primary motivations for its study. The existence of two or more Kaehler metrics underlying a given c-projective structure has many ramifications, which we explore in depth. As a consequence of this analysis, we prove the Yano-Obata conjecture for complete Kaehler manifolds: if such a manifold admits a one parameter group of c-projective transformations that are not affine, then it is complex projective space, equipped with a multiple of the Fubini-Study metric.

研究の動機と目的

• 実射影微分幾何の複素類似として、c射影幾何の包括的かつ統一的な理論を構築すること。
• c射影幾何とケーラー多様体との関係、特に適合計量の存在を通じての関係を確立すること。
• c射影ベクトル場とその可積分性の分析を通じて、完全なケーラー多様体に対するYano–Obata予想を解決すること。
• c射影同値計量とヘルミート型キリングテンソルを用いて、可積分系およびケーラー幾何への応用を探索すること。
• BGG作用素とジョルダン代数構造を用いて、射影幾何の計量可能性理論をc射影幾何および他の放物幾何に一般化すること。

提案手法

• 実射影幾何に類似するように、旗多様体 $\mathbb{CP}^n \cong \mathrm{PSL}(n+1,\mathbb{C})/P$ をモデルとしてc射影幾何を放物幾何として実現すること。
• c射影構造に自然なCartan接続を構成し、実射影幾何におけるCartan接続を複素設定に一般化すること。
• c射影計量可能性作用素を、対称反変2次テンソルに作用する1次BGG作用素として定義し、その核が適合（擬）ケーラー計量に対応することを示すこと。
• c射影構造とほぼ複素構造 $J$ を保存する複素接続との間の同値性を定義し、Nijenhuisテンソルの消滅によって可積分性が保証されることを示すこと。
• トレイクター bundle と曲率補正の理論を用いて、計量可能性方程式の解が関連するベクトルバンドルの平行切断に対応することを関係づけること。
• コーン構成と一般化されたFeix–Kaledin法を用いて、c射影構造をクaternion的幾何および共形幾何と関連づけ、より深い統一的構造を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複素多様体上のc射影構造が適合（擬）ケーラー計量をもつための条件は何か？
• RQ2 ケーラー多様体上のc射影ベクトル場の空間の構造は何か？ また、それらが本質的であるか、非線形化可能であるかの条件は？
• RQ3 1つのc射影構造に2つ以上のケーラー計量が存在する場合、それらが基礎となる多様体上の測地線流の可積分性に与える影響は？
• RQ4 c射影計量可能性作用素は実射影計量可能性作用素とどの程度類似しているか？ また、それぞれの核の次元はどのように比較されるか？
• RQ5 c射影構造は、ジョルダン代数埋め込みとホロノミーの簡約を通じて、クaternion的幾何や共形幾何などの他の放物幾何とどのように関係するか？

主な発見

• 完全なケーラー多様体に対するYano–Obata予想が証明された：非アフィンな1パラメータ群のc射影変換をもつような多様体は、Fubini–Study計量の定数倍を備えた複素射影空間 $\mathbb{CP}^n$ に限られる。
• c射影計量可能性作用素は、対称反変2次テンソルに作用する1次BGG作用素であり、その解は適合（擬）ケーラー計量に対応する。
• c射影ヘッセ行列の核にはキリングベクトル場のハミルトニアンが含まれており、c射影幾何が極値ケーラー計量とハミルトニアン2次形式と結びつく。
• c射影構造は自然にケーラー計量から生じる。1つのc射影類に複数のケーラー計量が存在するならば、測地線流に非自明な積分が存在する。
• ジョルダン代数埋め込みを通じてc射影幾何は他の放物幾何と統一され、c射影幾何は $\mathbb{C}^{n+1}$ のランク1ヘルミート行列に対応し、実射影幾何におけるヴェロネーゼ埋め込みに類似する。
• コーン構成と一般化されたFeix–Kaledin法により、c射影構造は射影Cartan接続のホロノミー簡約として実現され、クaternion幾何およびCayley平面と関連づけられる。