[論文レビュー] C*-pseudo-multiplicative unitaries

Thomas Timmermann|ArXiv.org|Sep 19, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、量子群理論におけるvon Neumann代数的構造の$C^*$代数的類似物として、$C^*$-擬乗法的ユニタリとHopf $C^*$-バイモジュールを導入する。正則な$C^*$-擬乗法的ユニタリは、局所コンパクト群ガロアの具体例において、$C_0(G)$に同型な1つと、非可縮群ガロア$C^*$代数$C^*_r(G)$に同型なもう1つのHopf $C^*$-バイモジュールを生成する。これはBaajとSkandalisの構成を$C^*$フレームワークに一般化する。

ABSTRACT

We introduce $C^*$-pseudo-multiplicative unitaries and (concrete) Hopf $C^*$-bimodules, which are $C^*$-algebraic variants of the pseudo-multiplicative unitaries on Hilbert spaces and the Hopf-von Neumann-bimodules studied by Enock, Lesieur, Vallin. Moreover, we associate to every regular $C^*$-pseudo-multiplicative unitary two Hopf-$C^*$-bimodules and discuss examples related to locally compact groupoids.

研究の動機と目的

• 局所コンパクト量子群ガロアの$C^*$代数的枠組みを構築し、Enock, Lesieur, Vallin のvon Neumann代数的理論を一般化すること。
• ヒルベルト空間上の擬乗法的ユニタリの$C^*$類似物として、$C^*$-擬乗法的ユニタリを定義すること。
• 正則な$C^*$-擬乗法的ユニタリから、BaajとSkandalisの構成を拡張した2つのHopf $C^*$-バイモジュールを構成すること。
• 局所コンパクト群ガロアに関連する$C^*$-擬乗法的ユニタリが、双対代数と非可縮群ガロア$C^*$代数の具体的な実現をもたらすことを示すこと。

提案手法

• Hilbert $C^*$-モジュールの$C^*$相対テンソル積を導入し、von Neumann設定におけるConnesの相対テンソル積を一般化する。
• $C^*$-相対テンソル積を用いて$C^*$代数の空間的積を定義し、函子的およびvon Neumann代数の積と整合するように保証する。
• $C^*$-相対テンソル積に類似する、双モジュールの整合性条件を満たすユニタリとして、$C^*$-擬乗法的ユニタリを定義する。
• $C^*$-擬乗法的ユニタリの正則性条件を導入し、関連する代数と$*$-準同型がHopf $C^*$-バイモジュールをなすように保証する。
• 正則な$C^*$-擬乗法的ユニタリから2つのHopf $C^*$-バイモジュールを構成する：1つは基底代数が$\widehat{A}(V) \cong C_0(G)$、もう1つは$A(V) = C^*_r(G)$である。
• 群ガロアのファイバー上の$L^2$空間における積分核を用いた明示的計算により、Hopf $C^*$-バイモジュールの公理を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 擬乗法的ユニタリの概念をvon Neumann代数設定から$C^*$代数へどのように適応できるか？
• RQ2 $C^*$-擬乗法的ユニタリがHopf $C^*$-バイモジュール構造を生成するための条件は何か？
• RQ3 $C^*$-擬乗法的ユニタリは局所コンパクト群ガロアおよびそれに関連する$C^*$代数とどのように関係するか？
• RQ4 BaajとSkandalisの一般化されたポントリャーギン双対性構成を、この新しい枠組みを用いて$C^*$代数へ拡張できるか？
• RQ5 局所コンパクト群ガロアの$C^*$-擬乗法的ユニタリから生じるHopf $C^*$-バイモジュールの正確な構造は何か？

主な発見

• 局所コンパクト群ガロア$G$に関連する$C^*$-擬乗法的ユニタリは正則であり、Hopf $C^*$-バイモジュールの構成に必要な解析的および代数的条件を満たす。
• 双対代数$\widehat{A}(V)$は$C_0(G)$に同型であり、$L^2(G, \nu)$上の乗法作用素として実現される。
• 非可縮群ガロア$C^*$代数$C^*_r(G)$は$A(V)$として実現され、余乗法がモジュラー関数$D^{-1/2}$による積分で与えられる。
• $\widehat{A}(V)$上の余乗法は$\widehat{\Delta}(m(f))\zeta(x,y) = f(xy)\zeta(x,y)$として作用し、双対代数における点ごとの乗法に対応する。
• $A(V)$上の余乗法は$\Delta(L(g))\zeta(x,y) = \int_{G^{r_G(x)}} g(z) D^{-1/2}(z) \zeta(z^{-1}x, z^{-1}y) d\lambda^{r_G(x)}(z)$として与えられ、群ガロアの畳み込みを反映する。
• この構成により、2つの具体的なHopf $C^*$-バイモジュールが得られる：$({}_{\mathfrak{B}^\dagger}\mathfrak{H}_{\mathfrak{B}}, H, \widehat{A}(V), \widehat{\beta}, \alpha, \widehat{\Delta})$ および $({}_{\mathfrak{B}}\mathfrak{H}_{\mathfrak{B}^\dagger}, A(V), \alpha, \beta, \Delta)$、それぞれ明示的な作用と余乗法が与えられる。